Номер 0.27, страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.27. С помощью второй производной найдите интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции:

1) $y = x^4 + 4x^3 - 18x^2 + x - 17;$

2) $y = \frac{3}{x} - \frac{1}{x^3}$.

1)

Дана функция $y = x^4 + 4x^3 - 18x^2 + x - 17$.

1. Область определения функции $D(y) = (-\infty, +\infty)$, так как это многочлен.

2. Находим первую и вторую производные функции.

Первая производная: $y' = (x^4 + 4x^3 - 18x^2 + x - 17)' = 4x^3 + 12x^2 - 36x + 1$.

Вторая производная: $y'' = (4x^3 + 12x^2 - 36x + 1)' = 12x^2 + 24x - 36$.

3. Находим точки, в которых вторая производная равна нулю. Вторая производная существует на всей числовой оси.

Приравниваем вторую производную к нулю: $12x^2 + 24x - 36 = 0$.

Разделим уравнение на 12: $x^2 + 2x - 3 = 0$.

Решая квадратное уравнение, находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

4. Исследуем знак второй производной на интервалах, на которые точки $x=-3$ и $x=1$ разбивают числовую прямую: $(-\infty, -3)$, $(-3, 1)$ и $(1, +\infty)$.

На интервале $(-\infty, -3)$ возьмем точку $x=-4$: $y''(-4) = 12(-4)^2 + 24(-4) - 36 = 12(16) - 96 - 36 = 192 - 132 = 60 > 0$. Значит, на этом интервале функция вогнутая.

На интервале $(-3, 1)$ возьмем точку $x=0$: $y''(0) = 12(0)^2 + 24(0) - 36 = -36 < 0$. Значит, на этом интервале функция выпуклая.

На интервале $(1, +\infty)$ возьмем точку $x=2$: $y''(2) = 12(2)^2 + 24(2) - 36 = 12(4) + 48 - 36 = 48 + 12 = 60 > 0$. Значит, на этом интервале функция вогнутая.

5. Находим точки перегиба. В точках $x=-3$ и $x=1$ вторая производная меняет знак, следовательно, это абсциссы точек перегиба. Найдем ординаты этих точек.

При $x = -3$: $y(-3) = (-3)^4 + 4(-3)^3 - 18(-3)^2 + (-3) - 17 = 81 - 108 - 162 - 3 - 17 = -209$.

При $x = 1$: $y(1) = 1^4 + 4(1)^3 - 18(1)^2 + 1 - 17 = 1 + 4 - 18 + 1 - 17 = -29$.

Точки перегиба: $(-3, -209)$ и $(1, -29)$.

Ответ: функция вогнутая на интервалах $(-\infty, -3)$ и $(1, +\infty)$, выпуклая на интервале $(-3, 1)$, точки перегиба $(-3, -209)$ и $(1, -29)$.

2)

Дана функция $y = \frac{3}{x} - \frac{1}{x^3}$.

1. Область определения функции $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$, так как знаменатель дроби не может быть равен нулю.

2. Перепишем функцию в виде $y = 3x^{-1} - x^{-3}$ и найдем ее первую и вторую производные.

Первая производная: $y' = (3x^{-1} - x^{-3})' = -3x^{-2} + 3x^{-4}$.

Вторая производная: $y'' = (-3x^{-2} + 3x^{-4})' = 6x^{-3} - 12x^{-5} = \frac{6}{x^3} - \frac{12}{x^5}$.

3. Приведем вторую производную к общему знаменателю и найдем точки, в которых она равна нулю или не существует.

$y'' = \frac{6x^2 - 12}{x^5}$.

Вторая производная не существует в точке $x=0$, которая не входит в область определения функции.

Приравняем вторую производную к нулю: $\frac{6x^2 - 12}{x^5} = 0$. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: $6x^2 - 12 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.

4. Исследуем знак второй производной на интервалах, на которые точки $x=-\sqrt{2}$, $x=0$ и $x=\sqrt{2}$ разбивают числовую прямую: $(-\infty, -\sqrt{2})$, $(-\sqrt{2}, 0)$, $(0, \sqrt{2})$ и $(\sqrt{2}, +\infty)$.

На интервале $(-\infty, -\sqrt{2})$ возьмем точку $x=-2$: $y''(-2) = \frac{6(-2)^2 - 12}{(-2)^5} = \frac{24 - 12}{-32} = -\frac{12}{32} < 0$. Функция выпуклая.

На интервале $(-\sqrt{2}, 0)$ возьмем точку $x=-1$: $y''(-1) = \frac{6(-1)^2 - 12}{(-1)^5} = \frac{6 - 12}{-1} = 6 > 0$. Функция вогнутая.

На интервале $(0, \sqrt{2})$ возьмем точку $x=1$: $y''(1) = \frac{6(1)^2 - 12}{1^5} = \frac{6 - 12}{1} = -6 < 0$. Функция выпуклая.

На интервале $(\sqrt{2}, +\infty)$ возьмем точку $x=2$: $y''(2) = \frac{6(2)^2 - 12}{2^5} = \frac{24 - 12}{32} = \frac{12}{32} > 0$. Функция вогнутая.

5. Находим точки перегиба. В точках $x=-\sqrt{2}$ и $x=\sqrt{2}$ вторая производная меняет знак, и они входят в область определения функции. Следовательно, это абсциссы точек перегиба. Найдем ординаты этих точек.

При $x = -\sqrt{2}$: $y(-\sqrt{2}) = \frac{3}{-\sqrt{2}} - \frac{1}{(-\sqrt{2})^3} = -\frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{1}{-2\sqrt{2}} = -\frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{-6+1}{2\sqrt{2}} = \frac{-5}{2\sqrt{2}} = -\frac{5\sqrt{2}}{4}$.

При $x = \sqrt{2}$: $y(\sqrt{2}) = \frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{1}{(\sqrt{2})^3} = \frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{6-1}{2\sqrt{2}} = \frac{5}{2\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{4}$.

Точки перегиба: $(-\sqrt{2}, -\frac{5\sqrt{2}}{4})$ и $(\sqrt{2}, \frac{5\sqrt{2}}{4})$.

Ответ: функция вогнутая на интервалах $(-\sqrt{2}, 0)$ и $(\sqrt{2}, +\infty)$, выпуклая на интервалах $(-\infty, -\sqrt{2})$ и $(0, \sqrt{2})$, точки перегиба $(-\sqrt{2}, -\frac{5\sqrt{2}}{4})$ и $(\sqrt{2}, \frac{5\sqrt{2}}{4})$.