Номер 0.20, страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.20. Упростите выражение:

1) $4\sin\left(\frac{5}{2}x\right)\cos x \cos\frac{x}{2}$;

2) $\frac{1}{\operatorname{tg}3x - \operatorname{tg}x} - \frac{1}{\operatorname{ctg}3x - \operatorname{ctg}x}$;

3) $\frac{\sin x + \sin 3x}{\cos x - \cos 3x}$;

4) $\frac{\cos^2 \alpha - \operatorname{ctg}^2 \alpha}{\sin^2 \alpha - \operatorname{tg}^2 \alpha}$.

1)

Преобразуем выражение, используя формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Сгруппируем множители: $4 \sin(\frac{5}{2}x) \cos x \cos \frac{x}{2} = 2 \cos x \cdot [2 \sin(\frac{5}{2}x) \cos(\frac{x}{2})]$. Применим формулу произведения синуса на косинус $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ к выражению в скобках: $2 \sin(\frac{5}{2}x) \cos(\frac{x}{2}) = \sin(\frac{5x}{2} + \frac{x}{2}) + \sin(\frac{5x}{2} - \frac{x}{2}) = \sin(\frac{6x}{2}) + \sin(\frac{4x}{2}) = \sin(3x) + \sin(2x)$. Подставим это обратно в исходное выражение: $2 \cos x (\sin(3x) + \sin(2x)) = 2 \sin(3x)\cos x + 2 \sin(2x)\cos x$. Снова применим формулу $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ к каждому слагаемому: $2 \sin(3x)\cos x = \sin(3x+x) + \sin(3x-x) = \sin(4x) + \sin(2x)$. $2 \sin(2x)\cos x = \sin(2x+x) + \sin(2x-x) = \sin(3x) + \sin(x)$. Сложим полученные результаты: $(\sin(4x) + \sin(2x)) + (\sin(3x) + \sin(x)) = \sin(x) + \sin(2x) + \sin(3x) + \sin(4x)$.

Ответ: $\sin(x) + \sin(2x) + \sin(3x) + \sin(4x)$

2)

Преобразуем каждый знаменатель, выразив тангенс и котангенс через синус и косинус. Для первого знаменателя: $\text{tg}3x - \text{tg}x = \frac{\sin 3x}{\cos 3x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sin 3x \cos x - \cos 3x \sin x}{\cos 3x \cos x} = \frac{\sin(3x-x)}{\cos 3x \cos x} = \frac{\sin 2x}{\cos 3x \cos x}$. Тогда первая дробь равна $\frac{1}{\text{tg}3x - \text{tg}x} = \frac{\cos 3x \cos x}{\sin 2x}$. Для второго знаменателя: $\text{ctg}3x - \text{ctg}x = \frac{\cos 3x}{\sin 3x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\cos 3x \sin x - \sin 3x \cos x}{\sin 3x \sin x} = \frac{\sin(x-3x)}{\sin 3x \sin x} = \frac{-\sin 2x}{\sin 3x \sin x}$. Тогда вторая дробь равна $\frac{1}{\text{ctg}3x - \text{ctg}x} = -\frac{\sin 3x \sin x}{\sin 2x}$. Теперь вычтем вторую дробь из первой: $\frac{\cos 3x \cos x}{\sin 2x} - \left(-\frac{\sin 3x \sin x}{\sin 2x}\right) = \frac{\cos 3x \cos x + \sin 3x \sin x}{\sin 2x}$. В числителе используем формулу косинуса разности $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$: $\frac{\cos(3x-x)}{\sin 2x} = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \text{ctg}2x$.

Ответ: $\text{ctg}2x$

3)

Применим формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение. Для числителя используем формулу суммы синусов: $\sin A + \sin B = 2 \sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$. $\sin x + \sin 3x = 2 \sin\frac{x+3x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 2 \sin 2x \cos x$. Для знаменателя используем формулу разности косинусов: $\cos A - \cos B = -2 \sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$. $\cos x - \cos 3x = -2 \sin\frac{x+3x}{2}\sin\frac{x-3x}{2} = -2 \sin 2x \sin(-x)$. Так как $\sin(-x) = -\sin x$, знаменатель равен: $-2 \sin 2x (-\sin x) = 2 \sin 2x \sin x$. Теперь составим дробь и упростим ее: $\frac{\sin x + \sin 3x}{\cos x - \cos 3x} = \frac{2 \sin 2x \cos x}{2 \sin 2x \sin x}$. Сокращаем на $2 \sin 2x$ (при условии, что $\sin 2x \neq 0$): $\frac{\cos x}{\sin x} = \text{ctg}x$.

Ответ: $\text{ctg}x$

4)

Выразим котангенс и тангенс через синус и косинус. $\text{ctg}^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$, $\text{tg}^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$. Преобразуем числитель: $\cos^2\alpha - \text{ctg}^2\alpha = \cos^2\alpha - \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \cos^2\alpha\left(1 - \frac{1}{\sin^2\alpha}\right) = \cos^2\alpha\left(\frac{\sin^2\alpha - 1}{\sin^2\alpha}\right)$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем $\sin^2\alpha - 1 = -\cos^2\alpha$. Следовательно, числитель равен: $\cos^2\alpha\left(\frac{-\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\right) = -\frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha}$. Преобразуем знаменатель: $\sin^2\alpha - \text{tg}^2\alpha = \sin^2\alpha - \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \sin^2\alpha\left(1 - \frac{1}{\cos^2\alpha}\right) = \sin^2\alpha\left(\frac{\cos^2\alpha - 1}{\cos^2\alpha}\right)$. Так как $\cos^2\alpha - 1 = -\sin^2\alpha$, знаменатель равен: $\sin^2\alpha\left(\frac{-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\right) = -\frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha}$. Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{-\frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha}}{-\frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha} \cdot \frac{\cos^2\alpha}{\sin^4\alpha} = \frac{\cos^6\alpha}{\sin^6\alpha} = \left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)^6 = \text{ctg}^6\alpha$.

Ответ: $\text{ctg}^6\alpha$