Номер 0.18, страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.18. Даны функции $f(x) = x^2 + 1$ и $g(x) = \sqrt{3-x}$. Область определения функции $f(x)$ $(-\infty; +\infty)$, а функции $g(x)$ $(-\infty; 3]$. Найдите следующие сложные функции:

1) $f(g(x));$

2) $g(f(x)).$

1) f(g(x));

Чтобы найти сложную функцию $f(g(x))$, нужно подставить выражение для функции $g(x)$ в функцию $f(x)$ в качестве аргумента. Даны функции: $f(x) = x^2 + 1$ и $g(x) = \sqrt{3-x}$.

Подставляем $g(x)$ в $f(x)$: $f(g(x)) = (g(x))^2 + 1 = (\sqrt{3-x})^2 + 1$.

Упростим выражение. В области определения функции $g(x)$ ($x \le 3$) подкоренное выражение $3-x$ является неотрицательным, поэтому $(\sqrt{3-x})^2 = 3-x$. Следовательно, $f(g(x)) = (3-x) + 1 = 4-x$.

Теперь найдем область определения сложной функции $f(g(x))$. Она состоит из всех значений $\text{x}$, которые принадлежат области определения "внутренней" функции $g(x)$, и при которых значения $g(x)$ принадлежат области определения "внешней" функции $f(x)$.

Область определения $g(x)$ — это $(-\infty; 3]$. Область определения $f(x)$ — это $(-\infty; +\infty)$. Поскольку функция $f(x)$ определена для любого действительного числа, никаких дополнительных ограничений на значения $g(x)$ не накладывается. Значит, область определения $f(g(x))$ совпадает с областью определения $g(x)$.

Ответ: $f(g(x)) = 4-x$, область определения: $(-\infty; 3]$.

2) g(f(x));

Чтобы найти сложную функцию $g(f(x))$, нужно подставить выражение для функции $f(x)$ в функцию $g(x)$ в качестве аргумента.

Подставляем $f(x)$ в $g(x)$: $g(f(x)) = \sqrt{3 - f(x)} = \sqrt{3 - (x^2 + 1)}$.

Упростим выражение под корнем: $g(f(x)) = \sqrt{3 - x^2 - 1} = \sqrt{2 - x^2}$.

Теперь найдем область определения сложной функции $g(f(x))$. Она состоит из всех значений $\text{x}$, которые принадлежат области определения "внутренней" функции $f(x)$, и при которых значения $f(x)$ принадлежат области определения "внешней" функции $g(x)$.

Область определения $f(x)$ — это $(-\infty; +\infty)$. Область определения $g(x)$ — это $(-\infty; 3]$. Следовательно, значение "внутренней" функции $f(x)$ должно удовлетворять условию $f(x) \le 3$.

Решим неравенство:

$x^2 + 1 \le 3$

$x^2 \le 2$

$-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$.

Таким образом, область определения функции $g(f(x))$ — это отрезок $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$.

Ответ: $g(f(x)) = \sqrt{2 - x^2}$, область определения: $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$.