Номер 0.11, страница 6, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.11. Найдите производную функции:

1) $y = (2 - 3x)^7$;

2) $y = (x^2 - 4x + 1)^4$;

3) $y = \frac{1}{\sqrt{3x+1}}$;

4) $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$;

5) $y = x \cdot (\sin^2 x + \cos^2 x)$;

6) $y = \left(\frac{x^2 + 2x}{6}\right) \cdot \cos 3x$.

1) Дана функция $y = (2 - 3x)^7$.

Это сложная функция вида $f(g(x))$, где внешняя функция $f(u) = u^7$, а внутренняя $g(x) = 2 - 3x$. Для нахождения её производной используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

Применяем это правило:

$y' = 7(2 - 3x)^{7-1} \cdot (2 - 3x)'$

Находим производную внутренней функции: $(2 - 3x)' = -3$.

Подставляем и получаем результат:

$y' = 7(2 - 3x)^6 \cdot (-3) = -21(2 - 3x)^6$.

Ответ: $y' = -21(2 - 3x)^6$.

2) Дана функция $y = (x^2 - 4x + 1)^4$.

Это также сложная функция. Внешняя функция $f(u) = u^4$, внутренняя $g(x) = x^2 - 4x + 1$. Применяем цепное правило $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

$y' = 4(x^2 - 4x + 1)^{4-1} \cdot (x^2 - 4x + 1)'$

Находим производную внутренней функции: $(x^2 - 4x + 1)' = 2x - 4$.

Собираем производную исходной функции:

$y' = 4(x^2 - 4x + 1)^3 \cdot (2x - 4)$.

Можно вынести общий множитель 2 из второго сомножителя для упрощения:

$y' = 4(x^2 - 4x + 1)^3 \cdot 2(x - 2) = 8(x - 2)(x^2 - 4x + 1)^3$.

Ответ: $y' = 8(x - 2)(x^2 - 4x + 1)^3$.

3) Дана функция $y = \frac{1}{\sqrt{3x + 1}}$.

Для удобства дифференцирования представим функцию в виде степени: $y = (3x + 1)^{-1/2}$.

Это сложная функция, где внешняя функция $f(u) = u^{-1/2}$, а внутренняя $g(x) = 3x + 1$. Используем правило для степенной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

$y' = -\frac{1}{2}(3x + 1)^{-1/2 - 1} \cdot (3x + 1)'$

Находим производную внутренней функции: $(3x + 1)' = 3$.

Подставляем и получаем:

$y' = -\frac{1}{2}(3x + 1)^{-3/2} \cdot 3 = -\frac{3}{2}(3x + 1)^{-3/2}$.

Ответ можно также записать в виде дроби с корнем: $y' = -\frac{3}{2\sqrt{(3x+1)^3}}$.

Ответ: $y' = -\frac{3}{2}(3x + 1)^{-3/2}$.

4) Дана функция $y = \sin(2x - \frac{\pi}{6})$.

Это сложная функция, где внешняя функция $f(u) = \sin(u)$, а внутренняя $g(x) = 2x - \frac{\pi}{6}$. Применяем цепное правило $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$.

$y' = \cos(2x - \frac{\pi}{6}) \cdot (2x - \frac{\pi}{6})'$

Находим производную внутренней функции: $(2x - \frac{\pi}{6})' = 2$.

Собираем производную:

$y' = \cos(2x - \frac{\pi}{6}) \cdot 2 = 2\cos(2x - \frac{\pi}{6})$.

Ответ: $y' = 2\cos(2x - \frac{\pi}{6})$.

5) Дана функция $y = x \cdot (\sin^2x + \cos^2x)$.

Перед нахождением производной упростим выражение, используя основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Тогда функция принимает вид: $y = x \cdot 1 = x$.

Находим производную этой простой функции:

$y' = (x)' = 1$.

Ответ: $y' = 1$.

6) Дана функция $y = \left(\frac{x^2 + 2x}{6}\right) \cdot \cos(3x)$.

Это произведение двух функций $u(x) = \frac{x^2 + 2x}{6}$ и $v(x) = \cos(3x)$. Используем правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Найдем производные каждой функции по отдельности.

Производная первой функции: $u' = \left(\frac{1}{6}(x^2 + 2x)\right)' = \frac{1}{6}(2x + 2) = \frac{2(x+1)}{6} = \frac{x+1}{3}$.

Производная второй функции (используя цепное правило): $v' = (\cos(3x))' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin(3x)$.

Теперь подставляем найденные производные в формулу произведения:

$y' = u'v + uv' = \left(\frac{x+1}{3}\right) \cos(3x) + \left(\frac{x^2 + 2x}{6}\right) \cdot (-3\sin(3x))$.

Упростим второе слагаемое:

$y' = \frac{x+1}{3}\cos(3x) - \frac{3(x^2 + 2x)}{6}\sin(3x) = \frac{x+1}{3}\cos(3x) - \frac{x^2 + 2x}{2}\sin(3x)$.

Ответ: $y' = \frac{x+1}{3}\cos(3x) - \frac{x(x+2)}{2}\sin(3x)$.