Номер 0.6, страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.6. Постройте график тригонометрической функции и проверьте результат с помощью онлайн-калькуляторa https://www.desmos.com/calculator:

1) $y = 2\sin x$;

2) $y = \cos 2x$;

3) $y = \tan\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$;

4) $y = \cot\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$.

1) Для построения графика функции $y = 2\sin{x}$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \sin{x}$.

Сначала строится график функции $y = \sin{x}$. Это синусоида, проходящая через начало координат, с периодом $T = 2\pi$ и амплитудой 1. Её область значений — отрезок $[-1, 1]$. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 0)$.

Чтобы получить график функции $y = 2\sin{x}$, нужно растянуть график $y = \sin{x}$ от оси абсцисс (оси OX) в 2 раза. Это означает, что ордината (координата $\text{y}$) каждой точки графика умножается на 2, а абсцисса (координата $\text{x}$) остается без изменений.

В результате этого преобразования период функции не изменится и останется равным $2\pi$. Амплитуда колебаний увеличится в 2 раза и станет равной 2. Область значений функции будет $[-2, 2]$. Ключевые точки преобразуются следующим образом: $(0, 0) \rightarrow (0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1) \rightarrow (\frac{\pi}{2}, 2)$, $(\pi, 0) \rightarrow (\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1) \rightarrow (\frac{3\pi}{2}, -2)$, $(2\pi, 0) \rightarrow (2\pi, 0)$.

Ответ: График функции $y = 2\sin{x}$ — это синусоида, полученная растяжением графика $y = \sin{x}$ вдоль оси OY в 2 раза. Период функции равен $2\pi$, амплитуда — 2, область значений — $[-2, 2]$.

2) Для построения графика функции $y = \cos{2x}$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \cos{x}$.

Сначала строится график функции $y = \cos{x}$. Это косинусоида с периодом $T = 2\pi$ и амплитудой 1. Она проходит через точку $(0, 1)$. Её область значений — отрезок $[-1, 1]$. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$.

Чтобы получить график функции $y = \cos{2x}$, нужно сжать график $y = \cos{x}$ к оси ординат (оси OY) в 2 раза. Это означает, что абсцисса (координата $\text{x}$) каждой точки графика делится на 2, а ордината (координата $\text{y}$) остается без изменений.

В результате этого преобразования амплитуда функции не изменится и останется равной 1. Период функции уменьшится в 2 раза и станет равным $T' = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Область значений функции останется $[-1, 1]$. Ключевые точки преобразуются следующим образом: $(0, 1) \rightarrow (0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0) \rightarrow (\frac{\pi}{4}, 0)$, $(\pi, -1) \rightarrow (\frac{\pi}{2}, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0) \rightarrow (\frac{3\pi}{4}, 0)$, $(2\pi, 1) \rightarrow (\pi, 1)$.

Ответ: График функции $y = \cos{2x}$ — это косинусоида, полученная сжатием графика $y = \cos{x}$ вдоль оси OX в 2 раза. Период функции равен $\pi$, амплитуда — 1, область значений — $[-1, 1]$.

3) Для построения графика функции $y = \text{tg}(x - \frac{\pi}{3})$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \text{tg}{x}$.

Сначала строится график функции $y = \text{tg}{x}$. Это тангенсоида с периодом $T = \pi$. График проходит через начало координат. Вертикальные асимптоты находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы получить график функции $y = \text{tg}(x - \frac{\pi}{3})$, нужно сдвинуть график $y = \text{tg}{x}$ вдоль оси абсцисс (оси OX) на $\frac{\pi}{3}$ вправо.

В результате этого преобразования период функции не изменится и останется равным $\pi$. Вертикальные асимптоты также сдвинутся на $\frac{\pi}{3}$ вправо. Уравнения новых асимптот: $x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \pi k$, то есть $x = \frac{5\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Точка $(0, 0)$ исходного графика переместится в точку $(\frac{\pi}{3}, 0)$.

Ответ: График функции $y = \text{tg}(x - \frac{\pi}{3})$ — это тангенсоида, полученная сдвигом графика $y = \text{tg}{x}$ вдоль оси OX на $\frac{\pi}{3}$ вправо. Период функции равен $\pi$, а вертикальные асимптоты задаются уравнениями $x = \frac{5\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Для построения графика функции $y = \text{ctg}(x + \frac{\pi}{6})$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \text{ctg}{x}$.

Сначала строится график функции $y = \text{ctg}{x}$. Это котангенсоида с периодом $T = \pi$. График пересекает ось абсцисс в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Вертикальные асимптоты находятся в точках $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы получить график функции $y = \text{ctg}(x + \frac{\pi}{6})$, нужно сдвинуть график $y = \text{ctg}{x}$ вдоль оси абсцисс (оси OX) на $\frac{\pi}{6}$ влево.

В результате этого преобразования период функции не изменится и останется равным $\pi$. Вертикальные асимптоты также сдвинутся на $\frac{\pi}{6}$ влево. Уравнения новых асимптот: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Нули функции (точки пересечения с осью OX), которые были в $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, сместятся в точки $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \pi k = \frac{\pi}{3} + \pi k$.

Ответ: График функции $y = \text{ctg}(x + \frac{\pi}{6})$ — это котангенсоида, полученная сдвигом графика $y = \text{ctg}{x}$ вдоль оси OX на $\frac{\pi}{6}$ влево. Период функции равен $\pi$, а вертикальные асимптоты задаются уравнениями $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.