Номер 0.4, страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.4. Упростите тригонометрическое выражение:

1) $\frac{3\operatorname{tg}^2 (\alpha+3\pi)-1}{3-\operatorname{tg}^2\left(\alpha+\frac{5\pi}{2}\right)}$;

2) $\frac{\operatorname{tg}2\alpha + \operatorname{tg}3\alpha}{1-\operatorname{tg}2\alpha\operatorname{tg}3\alpha}$;

3) $\frac{\cos2\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha}$;

4) $\frac{\sin3\alpha - \sin\alpha \cos2\alpha}{\sin3\alpha + \sin\alpha}$;

5) $\cos^4\frac{\alpha}{2} - \sin^4\frac{\alpha}{2} - \cos\alpha$;

6) $\cos^4\alpha(1+\operatorname{tg}^2\alpha)+\sin^2\alpha$.

1)

Упростим числитель и знаменатель дроби, используя периодичность и формулы приведения для тригонометрических функций.

Функция тангенс имеет период $\pi$, поэтому $\tg(\alpha + 3\pi) = \tg(\alpha)$.

Числитель принимает вид: $3\tg^2(\alpha) - 1$.

Для знаменателя используем формулу приведения. Аргумент тангенса $\alpha + \frac{5\pi}{2} = \alpha + 2\pi + \frac{\pi}{2}$. Учитывая периодичность, $\tg(\alpha + \frac{5\pi}{2}) = \tg(\alpha + \frac{\pi}{2})$.

По формуле приведения $\tg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\ctg(\alpha)$.

Следовательно, $\tg^2(\alpha + \frac{5\pi}{2}) = (-\ctg(\alpha))^2 = \ctg^2(\alpha)$.

Знаменатель принимает вид: $3 - \ctg^2(\alpha)$.

Получаем выражение: $\frac{3\tg^2(\alpha) - 1}{3 - \ctg^2(\alpha)}$.

Заменим $\ctg^2(\alpha)$ на $\frac{1}{\tg^2(\alpha)}$:

$\frac{3\tg^2(\alpha) - 1}{3 - \frac{1}{\tg^2(\alpha)}} = \frac{3\tg^2(\alpha) - 1}{\frac{3\tg^2(\alpha) - 1}{\tg^2(\alpha)}}$.

После сокращения дроби (при условии $3\tg^2(\alpha) - 1 \neq 0$) получаем: $\tg^2(\alpha)$.

Ответ: $\tg^2(\alpha)$.

2)

Данное выражение соответствует формуле тангенса суммы двух углов: $\tg(A + B) = \frac{\tg A + \tg B}{1 - \tg A \tg B}$.

В нашем случае $A = 2\alpha$ и $B = 3\alpha$.

Следовательно, выражение можно упростить следующим образом:

$\frac{\tg(2\alpha) + \tg(3\alpha)}{1 - \tg(2\alpha)\tg(3\alpha)} = \tg(2\alpha + 3\alpha) = \tg(5\alpha)$.

Ответ: $\tg(5\alpha)$.

3)

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$.

Подставим это выражение в числитель:

$\frac{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)}{\sin(\alpha) - \cos(\alpha)}$.

Разложим числитель на множители как разность квадратов: $\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = (\cos(\alpha) - \sin(\alpha))(\cos(\alpha) + \sin(\alpha))$.

Дробь примет вид:

$\frac{(\cos(\alpha) - \sin(\alpha))(\cos(\alpha) + \sin(\alpha))}{\sin(\alpha) - \cos(\alpha)}$.

Вынесем в знаменателе $-1$ за скобки: $\sin(\alpha) - \cos(\alpha) = -(\cos(\alpha) - \sin(\alpha))$.

$\frac{(\cos(\alpha) - \sin(\alpha))(\cos(\alpha) + \sin(\alpha))}{-(\cos(\alpha) - \sin(\alpha))}$.

Сократив $(\cos(\alpha) - \sin(\alpha))$, получим: $-(\cos(\alpha) + \sin(\alpha)) = -\sin(\alpha) - \cos(\alpha)$.

Ответ: $-\sin(\alpha) - \cos(\alpha)$.

4)

Упростим числитель. Используем формулу синуса суммы для $\sin(3\alpha) = \sin(2\alpha + \alpha) = \sin(2\alpha)\cos(\alpha) + \cos(2\alpha)\sin(\alpha)$.

Числитель: $\sin(2\alpha)\cos(\alpha) + \cos(2\alpha)\sin(\alpha) - \sin(\alpha)\cos(2\alpha) = \sin(2\alpha)\cos(\alpha)$.

Упростим знаменатель. Используем формулу суммы синусов: $\sin A + \sin B = 2\sin(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2})$.

Знаменатель: $\sin(3\alpha) + \sin(\alpha) = 2\sin(\frac{3\alpha+\alpha}{2})\cos(\frac{3\alpha-\alpha}{2}) = 2\sin(2\alpha)\cos(\alpha)$.

Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$\frac{\sin(2\alpha)\cos(\alpha)}{2\sin(2\alpha)\cos(\alpha)}$.

При условии, что знаменатель не равен нулю, дробь сокращается до $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

5)

Рассмотрим часть выражения $\cos^4(\frac{\alpha}{2}) - \sin^4(\frac{\alpha}{2})$.

Это разность квадратов: $(\cos^2(\frac{\alpha}{2}))^2 - (\sin^2(\frac{\alpha}{2}))^2$.

Разложим ее на множители: $(\cos^2(\frac{\alpha}{2}) - \sin^2(\frac{\alpha}{2}))(\cos^2(\frac{\alpha}{2}) + \sin^2(\frac{\alpha}{2}))$.

Используем два тождества:

1. Основное тригонометрическое тождество: $\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1$. Отсюда, $\cos^2(\frac{\alpha}{2}) + \sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 1$.

2. Формула косинуса двойного угла: $\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)$. При $\theta = \frac{\alpha}{2}$ получаем $\cos(\alpha) = \cos^2(\frac{\alpha}{2}) - \sin^2(\frac{\alpha}{2})$.

Подставив эти тождества в разложенное выражение, получим: $\cos(\alpha) \cdot 1 = \cos(\alpha)$.

Теперь вернемся к исходному выражению: $(\cos^4(\frac{\alpha}{2}) - \sin^4(\frac{\alpha}{2})) - \cos(\alpha) = \cos(\alpha) - \cos(\alpha) = 0$.

Ответ: $\text{0}$.

6)

Используем тригонометрическое тождество $1 + \tg^2(\alpha) = \sec^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$.

Подставим это в исходное выражение:

$\cos^4(\alpha) \cdot (1 + \tg^2(\alpha)) + \sin^2(\alpha) = \cos^4(\alpha) \cdot \frac{1}{\cos^2(\alpha)} + \sin^2(\alpha)$.

При условии, что $\cos(\alpha) \neq 0$ (что необходимо для существования $\tg(\alpha)$), мы можем сократить дробь:

$\frac{\cos^4(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} = \cos^2(\alpha)$.

Выражение принимает вид: $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)$.

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$.

Ответ: $\text{1}$.