Номер 0.7, страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.7. Вычислите:

1) $\cos\left(2\arcsin\frac{1}{2}\right)$;

2) $\mathrm{tg}(\mathrm{arcctg}3)$;

3) $\mathrm{ctg}(2\mathrm{arcctg}2)$;

4) $\sin(\mathrm{arctg}3)$.

1) cos(2arcsin(1/2))

Для решения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = 1 - 2sin^2(\alpha)$.

Пусть $\alpha = arcsin(\frac{1}{2})$. Тогда по определению арксинуса $sin(\alpha) = sin(arcsin(\frac{1}{2})) = \frac{1}{2}$.

Подставим это значение в формулу:

$cos(2arcsin(\frac{1}{2})) = 1 - 2sin^2(arcsin(\frac{1}{2})) = 1 - 2 \cdot (sin(arcsin(\frac{1}{2})))^2$

$= 1 - 2 \cdot (\frac{1}{2})^2 = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) tg(arcctg3)

Воспользуемся тождеством $tg(\alpha) = \frac{1}{ctg(\alpha)}$.

Пусть $\alpha = arcctg(3)$. Тогда по определению арккотангенса $ctg(\alpha) = ctg(arcctg(3)) = 3$.

Следовательно:

$tg(arcctg3) = \frac{1}{ctg(arcctg3)} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

3) ctg(2arcctg2)

Для решения применим формулу котангенса двойного угла: $ctg(2\alpha) = \frac{ctg^2(\alpha) - 1}{2ctg(\alpha)}$.

Пусть $\alpha = arcctg(2)$. Тогда по определению арккотангенса $ctg(\alpha) = ctg(arcctg(2)) = 2$.

Подставим это значение в формулу:

$ctg(2arcctg2) = \frac{ctg^2(arcctg2) - 1}{2ctg(arcctg2)} = \frac{2^2 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{4 - 1}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

4) sin(arctg3)

Пусть $\alpha = arctg(3)$. Это означает, что $tg(\alpha) = 3$ и угол $\alpha$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Поскольку $tg(\alpha) = 3 > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти, где значение синуса положительно.

Воспользуемся тригонометрическим тождеством, связывающим синус и тангенс: $sin^2(\alpha) = \frac{tg^2(\alpha)}{1+tg^2(\alpha)}$.

Подставим $tg(\alpha) = 3$ в формулу:

$sin^2(\alpha) = \frac{3^2}{1+3^2} = \frac{9}{1+9} = \frac{9}{10}$.

Так как $\alpha$ находится в первой четверти, $sin(\alpha)$ положителен, поэтому извлекаем положительный корень:

$sin(\alpha) = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{10}$:

$sin(arctg3) = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{10}}{10}$.