Номер 0.8, страница 6, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.8. Решите уравнение:

1) $2\cos x + \sqrt{3} = 0;$

2) $\sqrt{3}\operatorname{tg} x - 1 = 0;$

3) $6\sin x - 5 = 0;$

4) $2\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3};$

5) $\sqrt{3}\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = 1;$

6) $\operatorname{tg} 3x = 9.$

1)

Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части на 2:

$2\cos x + \sqrt{3} = 0$

$2\cos x = -\sqrt{3}$

$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Решения для $\text{x}$ находятся по формуле $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Следовательно, общее решение:

$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2)

Выразим $\text{tg}x$ из уравнения:

$\sqrt{3}\text{tg}x - 1 = 0$

$\sqrt{3}\text{tg}x = 1$

$\text{tg}x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Решения для $\text{x}$ находятся по формуле $x = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\text{arctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, общее решение:

$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3)

Выразим $\sin x$ из уравнения:

$6\sin x - 5 = 0$

$6\sin x = 5$

$\sin x = \frac{5}{6}$

Поскольку $|\frac{5}{6}| < 1$, уравнение имеет решения. Решения для $\text{x}$ находятся по формуле $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Значение $\arcsin(\frac{5}{6})$ не является табличным, поэтому оставляем его в таком виде.

Следовательно, общее решение:

$x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{5}{6}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{5}{6}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4)

Разделим обе части уравнения на 2:

$2\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$

$\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Аргумент синуса $2x + \frac{\pi}{6}$ можно найти по общей формуле:

$2x + \frac{\pi}{6} = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

$\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.

$2x + \frac{\pi}{6} = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$

Теперь выразим $\text{x}$:

$2x = (-1)^n \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + \pi n$

$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

5)

Выразим котангенс из уравнения:

$\sqrt{3}\text{ctg}\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = 1$

$\text{ctg}\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Аргумент котангенса $\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}$ можно найти по общей формуле:

$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} = \text{arcctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

$\text{arcctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{3}$.

$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + \pi n$

Теперь выразим $\text{x}$:

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + \pi n$

$\frac{x}{2} = \frac{4\pi + 3\pi}{12} + \pi n$

$\frac{x}{2} = \frac{7\pi}{12} + \pi n$

$x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

6)

Дано уравнение:

$\text{tg}(3x) = 9$

Аргумент тангенса $3x$ можно найти по общей формуле:

$3x = \text{arctg}(9) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Значение $\text{arctg}(9)$ не является табличным, поэтому оставляем его в таком виде.

Выразим $\text{x}$:

$x = \frac{\text{arctg}(9)}{3} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\text{arctg}(9)}{3} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.