Номер 0.12, страница 6, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.12. С помощью производной найдите наименьшее и наибольшее значения функции на указанном отрезке:

1) $y = 4x - x^4$, $x \in [-1;2];$

2) $y = \frac{2x-5}{x^2-4}$, $x \in [3;5].$

1) Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = 4x - x^4$ на отрезке $x \in [-1; 2]$, найдем ее производную, критические точки, а затем сравним значения функции в этих точках и на концах отрезка.

1. Находим производную функции:

$y'(x) = (4x - x^4)' = 4 - 4x^3$.

2. Находим критические точки, решая уравнение $y'(x) = 0$:

$4 - 4x^3 = 0$

$4(1 - x^3) = 0$

$x^3 = 1$

$x = 1$.

3. Критическая точка $x=1$ принадлежит отрезку $[-1; 2]$.

4. Вычисляем значения функции в критической точке $x=1$ и на концах отрезка $x=-1$ и $x=2$:

$y(-1) = 4(-1) - (-1)^4 = -4 - 1 = -5$.

$y(1) = 4(1) - (1)^4 = 4 - 1 = 3$.

$y(2) = 4(2) - (2)^4 = 8 - 16 = -8$.

5. Сравнивая полученные значения $(-5, 3, -8)$, видим, что наименьшее значение функции на отрезке равно $-8$, а наибольшее равно $\text{3}$.

Ответ: наименьшее значение функции $-8$, наибольшее значение функции $\text{3}$.

2) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \frac{2x - 5}{x^2 - 4}$ на отрезке $x \in [3; 5]$ воспользуемся тем же алгоритмом.

1. Находим производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y'(x) = \frac{(2x-5)'(x^2-4) - (2x-5)(x^2-4)'}{(x^2-4)^2} = \frac{2(x^2-4) - (2x-5)(2x)}{(x^2-4)^2} = \frac{2x^2 - 8 - 4x^2 + 10x}{(x^2-4)^2} = \frac{-2x^2 + 10x - 8}{(x^2-4)^2}$.

2. Находим критические точки, приравнивая числитель производной к нулю:

$-2x^2 + 10x - 8 = 0$.

Разделив на $-2$, получаем $x^2 - 5x + 4 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения: $x_1=1$ и $x_2=4$.

3. Проверяем принадлежность критических точек отрезку $[3; 5]$:

Точка $x=1$ не принадлежит отрезку $[3; 5]$.

Точка $x=4$ принадлежит отрезку $[3; 5]$.

4. Вычисляем значения функции на концах отрезка ($x=3$, $x=5$) и в критической точке $x=4$:

$y(3) = \frac{2(3) - 5}{3^2 - 4} = \frac{6-5}{9-4} = \frac{1}{5}$.

$y(4) = \frac{2(4) - 5}{4^2 - 4} = \frac{8-5}{16-4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

$y(5) = \frac{2(5) - 5}{5^2 - 4} = \frac{10-5}{25-4} = \frac{5}{21}$.

5. Сравниваем полученные значения: $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{4}$ и $\frac{5}{21}$.

$\frac{1}{5} = 0.2$; $\frac{1}{4} = 0.25$; $\frac{5}{21} \approx 0.238$.

Расположив числа в порядке возрастания, получаем: $0.2 < 0.238... < 0.25$, то есть $\frac{1}{5} < \frac{5}{21} < \frac{1}{4}$.

Следовательно, наименьшее значение функции равно $\frac{1}{5}$, а наибольшее — $\frac{1}{4}$.

Ответ: наименьшее значение функции $\frac{1}{5}$, наибольшее значение функции $\frac{1}{4}$.