Номер 0.16, страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.16*. Решите неравенство методом интервалов:

1) $\sqrt{9x-20} < x;$

2) $\sqrt{\frac{x+3}{4-x}} \ge 2.$

1) Решим неравенство $ \sqrt{9x-20} < x $ методом интервалов.

Для этого перенесем все члены в левую часть и рассмотрим соответствующую функцию:

$ \sqrt{9x-20} - x < 0 $

Пусть $ f(x) = \sqrt{9x-20} - x $. Нам нужно найти, при каких значениях $ x $ выполняется $ f(x) < 0 $.

1. Нахождение области определения функции (ОДЗ).

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$ 9x - 20 \ge 0 \implies 9x \ge 20 \implies x \ge \frac{20}{9} $.

Таким образом, область определения функции: $ D(f) = \left[ \frac{20}{9}; +\infty \right) $.

2. Нахождение нулей функции.

Приравняем функцию к нулю и решим уравнение $ f(x) = 0 $:

$ \sqrt{9x-20} - x = 0 \implies \sqrt{9x-20} = x $.

Поскольку корень арифметический, он не может быть отрицательным, значит $ x \ge 0 $. Это условие выполняется, так как наша область определения $ x \ge \frac{20}{9} $. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$ 9x - 20 = x^2 $

$ x^2 - 9x + 20 = 0 $

По теореме Виета, сумма корней равна 9, а произведение равно 20. Корни уравнения: $ x_1 = 4 $ и $ x_2 = 5 $. Оба корня принадлежат области определения $ \left[ \frac{20}{9}; +\infty \right) $.

3. Применение метода интервалов.

Нули функции $ x=4 $ и $ x=5 $ разбивают ее область определения $ \left[ \frac{20}{9}; +\infty \right) $ на три интервала: $ \left[ \frac{20}{9}; 4 \right) $, $ (4; 5) $ и $ (5; +\infty) $. Определим знак функции $ f(x) $ на каждом из этих интервалов, выбрав по одной пробной точке.

- В интервале $ \left[ \frac{20}{9}; 4 \right) $ возьмем $ x=3 $.

$ f(3) = \sqrt{9 \cdot 3 - 20} - 3 = \sqrt{27 - 20} - 3 = \sqrt{7} - 3 $. Так как $ 7 < 9 $, то $ \sqrt{7} < 3 $, следовательно, $ f(3) < 0 $. Знак на интервале: "–".

- В интервале $ (4; 5) $ возьмем $ x=4.5 $.

$ f(4.5) = \sqrt{9 \cdot 4.5 - 20} - 4.5 = \sqrt{40.5 - 20} - 4.5 = \sqrt{20.5} - 4.5 $. Так как $ 20.5 > 20.25 = 4.5^2 $, то $ \sqrt{20.5} > 4.5 $, следовательно, $ f(4.5) > 0 $. Знак на интервале: "+".

- В интервале $ (5; +\infty) $ возьмем $ x=10 $.

$ f(10) = \sqrt{9 \cdot 10 - 20} - 10 = \sqrt{70} - 10 $. Так как $ 70 < 100 $, то $ \sqrt{70} < 10 $, следовательно, $ f(10) < 0 $. Знак на интервале: "–".

Нас интересуют интервалы, где $ f(x) < 0 $. Это $ \left[ \frac{20}{9}; 4 \right) $ и $ (5; +\infty) $.

Ответ: $ x \in \left[ \frac{20}{9}; 4 \right) \cup (5; +\infty) $.

2) Решим неравенство $ \sqrt{\frac{x+3}{4-x}} \ge 2 $.

Поскольку левая часть (арифметический квадратный корень) и правая часть (число 2) неотрицательны, мы можем возвести обе части неравенства в квадрат. Это преобразование будет равносильным при условии, что подкоренное выражение неотрицательно (что будет автоматически выполнено, если дробь больше или равна 4).

$ \left( \sqrt{\frac{x+3}{4-x}} \right)^2 \ge 2^2 $

$ \frac{x+3}{4-x} \ge 4 $

Получили рациональное неравенство. Для его решения методом интервалов перенесем все в левую часть:

$ \frac{x+3}{4-x} - 4 \ge 0 $

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{x+3 - 4(4-x)}{4-x} \ge 0 $

$ \frac{x+3 - 16 + 4x}{4-x} \ge 0 $

$ \frac{5x-13}{4-x} \ge 0 $

Теперь решим полученное неравенство методом интервалов.

1. Нахождение нулей числителя и знаменателя.

- Нуль числителя: $ 5x-13 = 0 \implies x = \frac{13}{5} = 2.6 $.

- Нуль знаменателя: $ 4-x = 0 \implies x = 4 $.

2. Применение метода интервалов.

Отметим точки $ x = 2.6 $ и $ x = 4 $ на числовой оси. Точка $ x = 2.6 $ является решением (знак неравенства нестрогий), поэтому она "закрашенная". Точка $ x=4 $ обращает знаменатель в ноль, поэтому она "выколотая". Точки делят ось на три интервала.

- При $ x < 2.6 $ (например, $ x=0 $): $ \frac{5(0)-13}{4-0} = \frac{-13}{4} < 0 $. Знак: "–".

- При $ 2.6 < x < 4 $ (например, $ x=3 $): $ \frac{5(3)-13}{4-3} = \frac{2}{1} > 0 $. Знак: "+".

- При $ x > 4 $ (например, $ x=5 $): $ \frac{5(5)-13}{4-5} = \frac{12}{-1} < 0 $. Знак: "–".

Нас интересует, где выражение $ \frac{5x-13}{4-x} \ge 0 $. Это происходит на интервале, где знак "+", включая левую границу.

Решением является интервал $ [\frac{13}{5}; 4) $.

Ответ: $ x \in \left[\frac{13}{5}; 4\right) $.