Номер 0.19, страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.19. Даны функции $f(x) = x^2+1, x \geq 1$ и $g(x) = \sqrt{3-x}, x \in (-\infty; 3]$. Найдите обратные им функции:

1) $f^{-1}(x)$;

2) $g^{-1}(x)$.

С помощью графического онлайн-калькулятора выясните взаимное расположение графиков данных функций и обратных им функций.

1) f⁻¹(x);

Дана функция $f(x) = x^2 + 1$ с областью определения $D(f) = [1; +\infty)$.

Для нахождения обратной функции сначала определим область значений исходной функции. Поскольку $x \ge 1$, то $x^2 \ge 1$, следовательно, $x^2 + 1 \ge 2$. Таким образом, область значений функции $f(x)$ есть $E(f) = [2; +\infty)$.

Чтобы найти обратную функцию, представим исходную функцию как $y = x^2 + 1$. Затем поменяем местами переменные $\text{x}$ и $\text{y}$:

$x = y^2 + 1$

Теперь выразим $\text{y}$ через $\text{x}$:

$y^2 = x - 1$

$y = \pm\sqrt{x - 1}$

Область определения обратной функции $f^{-1}(x)$ совпадает с областью значений исходной функции $f(x)$, то есть $D(f^{-1}) = [2; +\infty)$. Область значений обратной функции $f^{-1}(x)$ совпадает с областью определения исходной функции $f(x)$, то есть $E(f^{-1}) = [1; +\infty)$.

Поскольку область значений обратной функции $y = f^{-1}(x)$ должна быть $[1; +\infty)$, то есть $y \ge 1$, мы выбираем положительный корень.

Следовательно, обратная функция имеет вид $f^{-1}(x) = \sqrt{x - 1}$.

Ответ: $f^{-1}(x) = \sqrt{x-1}$.

2) g⁻¹(x).

Дана функция $g(x) = \sqrt{3-x}$ с областью определения $D(g) = (-\infty; 3]$.

Найдем область значений функции $g(x)$. Значение квадратного корня всегда неотрицательно, поэтому $g(x) \ge 0$. При $x=3$, $g(3)=0$. При $x \to -\infty$, значение $3-x \to +\infty$, и $g(x) \to +\infty$. Таким образом, область значений функции $g(x)$ есть $E(g) = [0; +\infty)$.

Представим функцию как $y = \sqrt{3-x}$ и поменяем местами $\text{x}$ и $\text{y}$:

$x = \sqrt{3-y}$

Выразим $\text{y}$ через $\text{x}$. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

$x^2 = 3 - y$

$y = 3 - x^2$

Область определения обратной функции $g^{-1}(x)$ совпадает с областью значений исходной функции $g(x)$, то есть $D(g^{-1}) = [0; +\infty)$. Область значений обратной функции $g^{-1}(x)$ совпадает с областью определения исходной функции $g(x)$, то есть $E(g^{-1}) = (-\infty; 3]$.

Итак, обратная функция имеет вид $g^{-1}(x) = 3-x^2$ при условии $x \ge 0$.

Ответ: $g^{-1}(x) = 3-x^2$.

С помощью графического онлайн-калькулятора выясните взаимное расположение графиков данных функций и обратных им функций.

Основное свойство графиков взаимно обратных функций заключается в их симметрии относительно прямой $y=x$.

1. Для $f(x) = x^2+1, x \ge 1$ и $f^{-1}(x) = \sqrt{x-1}, x \ge 2$:

Графики этих функций симметричны относительно прямой $y=x$. График функции $f(x)$ (часть параболы) и график функции $f^{-1}(x)$ (ветвь параболы) не пересекаются друг с другом. График $f(x)$ расположен полностью над прямой $y=x$, а график $f^{-1}(x)$ — полностью под ней.

2. Для $g(x) = \sqrt{3-x}, x \le 3$ и $g^{-1}(x) = 3-x^2, x \ge 0$:

Графики этих функций также симметричны относительно прямой $y=x$. В отличие от предыдущего случая, эти графики пересекаются. Точка их пересечения лежит на оси симметрии $y=x$. Чтобы найти ее, решим уравнение $g(x) = x$:

$\sqrt{3-x} = x$

$3-x = x^2$ (при $x \ge 0$)

$x^2 + x - 3 = 0$

Решая квадратное уравнение, получаем $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-3)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$.

Учитывая условие $x \ge 0$, выбираем корень $x = \frac{\sqrt{13}-1}{2}$.

Таким образом, графики $g(x)$ и $g^{-1}(x)$ пересекаются в точке с координатами $(\frac{\sqrt{13}-1}{2}; \frac{\sqrt{13}-1}{2})$.

Ответ: График каждой функции и обратной ей функции симметричны относительно прямой $y=x$. Графики $f(x)$ и $f^{-1}(x)$ не пересекаются. Графики $g(x)$ и $g^{-1}(x)$ пересекаются в одной точке $(\frac{\sqrt{13}-1}{2}; \frac{\sqrt{13}-1}{2})$, лежащей на прямой $y=x$.