Номер 0.24, страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.24. Найдите производную функции:

1) $y = \sqrt{x-2} \cdot \sin(3x-2);$

2) $y = \frac{\sin(2x-1)}{\sqrt{x+4}};$

3) $y = (x^2+1)\operatorname{tg}x;$

4) $y = \sqrt{x+\sqrt{x}}.$

1) Найдем производную функции $y=\sqrt{x-2} \cdot \sin(3x-2)$.

Данная функция является произведением двух функций: $u(x)=\sqrt{x-2}$ и $v(x)=\sin(3x-2)$. Для нахождения производной воспользуемся правилом производной произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Сначала найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$ по отдельности, используя правило производной сложной функции.

Производная $u(x)=\sqrt{x-2}=(x-2)^{1/2}$:

$u'(x) = \left((x-2)^{1/2}\right)' = \frac{1}{2}(x-2)^{-1/2} \cdot (x-2)' = \frac{1}{2\sqrt{x-2}} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x-2}}$.

Производная $v(x)=\sin(3x-2)$:

$v'(x) = (\sin(3x-2))' = \cos(3x-2) \cdot (3x-2)' = \cos(3x-2) \cdot 3 = 3\cos(3x-2)$.

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

$y' = u'v + uv' = \frac{1}{2\sqrt{x-2}} \cdot \sin(3x-2) + \sqrt{x-2} \cdot 3\cos(3x-2)$.

Это уже является ответом, но его можно упростить, приведя к общему знаменателю:

$y' = \frac{\sin(3x-2)}{2\sqrt{x-2}} + \frac{3\sqrt{x-2}\cos(3x-2) \cdot 2\sqrt{x-2}}{2\sqrt{x-2}} = \frac{\sin(3x-2) + 6(x-2)\cos(3x-2)}{2\sqrt{x-2}}$.

Ответ: $y' = \frac{\sin(3x-2) + 6(x-2)\cos(3x-2)}{2\sqrt{x-2}}$.

2) Найдем производную функции $y = \frac{\sin(2x-1)}{\sqrt{x+4}}$.

Данная функция является частным двух функций: $u(x)=\sin(2x-1)$ и $v(x)=\sqrt{x+4}$. Будем использовать правило производной частного: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Найдем производные числителя и знаменателя:

$u'(x) = (\sin(2x-1))' = \cos(2x-1) \cdot (2x-1)' = 2\cos(2x-1)$.

$v'(x) = (\sqrt{x+4})' = \frac{1}{2\sqrt{x+4}} \cdot (x+4)' = \frac{1}{2\sqrt{x+4}}$.

Квадрат знаменателя: $v^2 = (\sqrt{x+4})^2 = x+4$.

Подставим все компоненты в формулу производной частного:

$y' = \frac{2\cos(2x-1) \cdot \sqrt{x+4} - \sin(2x-1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+4}}}{x+4}$.

Чтобы упростить выражение, умножим числитель и знаменатель дроби на $2\sqrt{x+4}$:

$y' = \frac{\left(2\cos(2x-1)\sqrt{x+4} - \frac{\sin(2x-1)}{2\sqrt{x+4}}\right) \cdot 2\sqrt{x+4}}{(x+4) \cdot 2\sqrt{x+4}} = \frac{4\cos(2x-1)(\sqrt{x+4})^2 - \sin(2x-1)}{2(x+4)\sqrt{x+4}}$.

$y' = \frac{4(x+4)\cos(2x-1) - \sin(2x-1)}{2(x+4)\sqrt{x+4}}$.

Ответ: $y' = \frac{4(x+4)\cos(2x-1) - \sin(2x-1)}{2(x+4)\sqrt{x+4}}$.

3) Найдем производную функции $y=(x^2+1)\text{tg}x$.

Это произведение двух функций $u(x)=x^2+1$ и $v(x)=\text{tg}x$. Используем правило производной произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Находим производные сомножителей:

$u'(x) = (x^2+1)' = 2x$.

$v'(x) = (\text{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2x}$.

Подставляем в формулу:

$y' = u'v + uv' = 2x \cdot \text{tg}x + (x^2+1) \cdot \frac{1}{\cos^2x} = 2x\,\text{tg}x + \frac{x^2+1}{\cos^2x}$.

Ответ: $y' = 2x\,\text{tg}x + \frac{x^2+1}{\cos^2x}$.

4) Найдем производную функции $y=\sqrt{x+\sqrt{x}}$.

Это сложная функция, для которой мы применим правило цепочки $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Внешняя функция $f(u) = \sqrt{u}$, ее производная $f'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

Внутренняя функция $g(x) = x+\sqrt{x}$. Найдем ее производную:

$g'(x) = (x+\sqrt{x})' = (x)' + (\sqrt{x})' = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Теперь применим правило производной сложной функции:

$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}} \cdot \left(1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}\right)$.

Упростим второй множитель, приведя его к общему знаменателю:

$1 + \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}$.

Подставим это обратно в выражение для производной и перемножим дроби:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}} \cdot \frac{2\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x}+1}{4\sqrt{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}}$.

Ответ: $y' = \frac{2\sqrt{x}+1}{4\sqrt{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}}$.