Номер 0.28, страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.28. Постройте график функции. В чем особенности графиков четной и нечетной функций?

1) $y = x^4 + 2x^2 - 3;$

2) $y = \frac{1}{2}(x+1)^2 (x-2)^3;$

3) $y = x^3 - 3x.$

Особенности графиков четной и нечетной функций

Функция $y = f(x)$ называется четной, если для любого значения $\text{x}$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY). Это означает, что если точка $(x_0, y_0)$ принадлежит графику, то и точка $(-x_0, y_0)$ также принадлежит ему.

Функция $y = f(x)$ называется нечетной, если для любого значения $\text{x}$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки (0,0)). Это означает, что если точка $(x_0, y_0)$ принадлежит графику, то и точка $(-x_0, -y_0)$ также принадлежит ему.

1) $y = x^4 + 2x^2 - 3$

Проведем исследование функции для построения графика.

1. Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$, так как функция является многочленом.

2. Четность/нечетность: Проверим $y(-x)$: $y(-x) = (-x)^4 + 2(-x)^2 - 3 = x^4 + 2x^2 - 3 = y(x)$. Функция является четной, так как все степени переменной $\text{x}$ четные. Ее график симметричен относительно оси OY.

3. Точки пересечения с осями координат:

- С осью OY (при $x=0$): $y(0) = 0^4 + 2 \cdot 0^2 - 3 = -3$. Точка пересечения: $(0, -3)$.

- С осью OX (при $y=0$): $x^4 + 2x^2 - 3 = 0$. Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$ (где $t \ge 0$): $t^2 + 2t - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$. Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$. Возвращаемся к замене: $x^2 = 1$, откуда $x_1 = 1$, $x_2 = -1$. Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

4. Промежутки монотонности и экстремумы:

Найдем производную: $y' = (x^4 + 2x^2 - 3)' = 4x^3 + 4x$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $4x^3 + 4x = 0 \implies 4x(x^2+1) = 0$. Так как $x^2+1 > 0$ для любого $\text{x}$, единственная критическая точка $x=0$.

Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

- При $x < 0$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x > 0$, $y' > 0$, функция возрастает.

Следовательно, в точке $x=0$ функция имеет минимум. $y_{min} = y(0) = -3$. Точка минимума: $(0, -3)$.

5. Построение графика: На основе полученных данных (симметрия относительно OY, точки пересечения $(-1, 0)$, $(1, 0)$, $(0, -3)$, точка минимума $(0, -3)$) строим график. Он имеет W-образную форму.

Ответ: График функции — симметричная относительно оси OY кривая, похожая на букву W. Она имеет минимум в точке $(0, -3)$ и пересекает ось OX в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

2) $y = \frac{1}{2}(x+1)^2(x-2)^2$

1. Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность/нечетность: $y(-x) = \frac{1}{2}(-x+1)^2(-x-2)^2 = \frac{1}{2}(x-1)^2(x+2)^2$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида (не четная и не нечетная).

3. Точки пересечения с осями координат:

- С осью OY (при $x=0$): $y(0) = \frac{1}{2}(0+1)^2(0-2)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 = 2$. Точка $(0, 2)$.

- С осью OX (при $y=0$): $\frac{1}{2}(x+1)^2(x-2)^2 = 0$. Корни: $x_1 = -1$ (кратность 2) и $x_2 = 2$ (кратность 2). Так как кратность корней четная, график касается оси OX в этих точках, но не пересекает ее. Точки касания: $(-1, 0)$ и $(2, 0)$. Поскольку $y(x) = \frac{1}{2}(\dots)^2(\dots)^2 \ge 0$ для всех $\text{x}$, эти точки являются точками глобального минимума.

4. Промежутки монотонности и экстремумы:

Найдем производную: $y' = (\frac{1}{2}((x+1)(x-2))^2)' = (\frac{1}{2}(x^2 - x - 2)^2)' = (x^2 - x - 2)(2x-1)$.

Приравняем производную к нулю: $(x-2)(x+1)(2x-1) = 0$. Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$, $x_3 = \frac{1}{2}$.

- Точки $x=-1$ и $x=2$ — точки минимума, $y_{min}=0$.

- Точка $x=1/2$ — точка максимума. Найдем значение: $y_{max} = y(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}+1)^2(\frac{1}{2}-2)^2 = \frac{1}{2}(\frac{3}{2})^2(-\frac{3}{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{9}{4} = \frac{81}{32} \approx 2.53$. Точка максимума: $(\frac{1}{2}, \frac{81}{32})$.

5. Построение графика: График расположен полностью в верхней полуплоскости. Он касается оси OX в точках $(-1, 0)$ и $(2, 0)$, которые являются минимумами. Между ними находится локальный максимум в точке $(\frac{1}{2}, \frac{81}{32})$. График пересекает ось OY в точке $(0, 2)$.

Ответ: График функции — несимметричная W-образная кривая, касающаяся оси абсцисс в точках $(-1, 0)$ и $(2, 0)$ (минимумы) и имеющая локальный максимум в точке $(\frac{1}{2}, \frac{81}{32})$.

3) $y = x^3 - 3x$

1. Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность/нечетность: $y(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -y(x)$. Функция является нечетной, так как все степени переменной $\text{x}$ нечетные. Ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат:

- С осью OY (при $x=0$): $y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0 = 0$. График проходит через начало координат $(0, 0)$.

- С осью OX (при $y=0$): $x^3 - 3x = 0 \implies x(x^2-3) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = \sqrt{3}$, $x_3 = -\sqrt{3}$. Точки пересечения: $(-\sqrt{3}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt{3}, 0)$. (где $\sqrt{3} \approx 1.73$).

4. Промежутки монотонности и экстремумы:

Найдем производную: $y' = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1)$.

Найдем критические точки: $3(x^2-1) = 0 \implies x = \pm 1$.

- При $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (-1, 1)$, $y' < 0$, функция убывает.

Следовательно, $x=-1$ — точка максимума, $x=1$ — точка минимума.

$y_{max} = y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$. Точка максимума: $(-1, 2)$.

$y_{min} = y(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$. Точка минимума: $(1, -2)$.

5. Построение графика: График симметричен относительно начала координат. Он проходит через точки $(-\sqrt{3}, 0)$, $(0, 0)$ и $(\sqrt{3}, 0)$. Имеет локальный максимум в $(-1, 2)$ и локальный минимум в $(1, -2)$. Точка $(0, 0)$ является точкой перегиба.

Ответ: График функции — кубическая парабола, симметричная относительно начала координат. Имеет локальный максимум в точке $(-1, 2)$, локальный минимум в точке $(1, -2)$ и пересекает оси в точках $x=0, x=\pm\sqrt{3}$.