Номер 0.33, страница 9, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.33. Найдите значение tg2x, если $ \frac{\cos x + 2\sin x}{2\sin x - 3\cos x} = 2 $.

Дано уравнение:

$$ \frac{\cos x + 2\sin x}{2\sin x - 3\cos x} = 2 $$

Наша цель — найти значение $ \tg(2x) $. Для этого сначала найдем значение $ \tg x $ из данного уравнения.

1. Умножим обе части уравнения на знаменатель $ (2\sin x - 3\cos x) $, при условии, что он не равен нулю ($ 2\sin x - 3\cos x \neq 0 $):

$$ \cos x + 2\sin x = 2(2\sin x - 3\cos x) $$

2. Раскроем скобки в правой части уравнения:

$$ \cos x + 2\sin x = 4\sin x - 6\cos x $$

3. Сгруппируем слагаемые с $ \sin x $ в одной стороне, а с $ \cos x $ — в другой:

$$ \cos x + 6\cos x = 4\sin x - 2\sin x $$

$$ 7\cos x = 2\sin x $$

4. Чтобы найти $ \tg x $, разделим обе части уравнения на $ \cos x $. Это действие корректно, так как если предположить, что $ \cos x = 0 $, то из равенства $ 7\cos x = 2\sin x $ следует, что $ 2\sin x = 0 $, а значит и $ \sin x = 0 $. Однако $ \sin x $ и $ \cos x $ не могут одновременно быть равными нулю, так как основное тригонометрическое тождество гласит $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $. Следовательно, $ \cos x \neq 0 $.

$$ \frac{7\cos x}{\cos x} = \frac{2\sin x}{\cos x} $$

$$ 7 = 2\tg x $$

Отсюда получаем значение тангенса:

$$ \tg x = \frac{7}{2} $$

5. Теперь используем формулу тангенса двойного угла, чтобы найти $ \tg(2x) $:

$$ \tg(2x) = \frac{2\tg x}{1 - \tg^2 x} $$

6. Подставим найденное значение $ \tg x = \frac{7}{2} $ в формулу:

$$ \tg(2x) = \frac{2 \cdot \frac{7}{2}}{1 - \left(\frac{7}{2}\right)^2} = \frac{7}{1 - \frac{49}{4}} $$

7. Упростим выражение в знаменателе:

$$ 1 - \frac{49}{4} = \frac{4}{4} - \frac{49}{4} = -\frac{45}{4} $$

8. Вычислим итоговое значение:

$$ \tg(2x) = \frac{7}{-\frac{45}{4}} = 7 \cdot \left(-\frac{4}{45}\right) = -\frac{28}{45} $$

Ответ: $ -\frac{28}{45} $.