Номер 0.31, страница 9, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.31*. С помощью метода математической индукции докажите:

1) $(n^3 + 3n^2 + 2n):6;$

2) $\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{n}{3n+1}.$

1) Докажем, что выражение $(n^3 + 3n^2 + 2n)$ делится на 6 для любого натурального $\text{n}$ методом математической индукции.

База индукции:

При $n=1$ имеем: $1^3 + 3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = 1 + 3 + 2 = 6$. Так как 6 делится на 6, утверждение верно для $n=1$.

Индукционное предположение:

Предположим, что для некоторого натурального $k \ge 1$ выражение $(k^3 + 3k^2 + 2k)$ делится на 6.

Индукционный переход:

Докажем, что утверждение верно для $n=k+1$, то есть $((k+1)^3 + 3(k+1)^2 + 2(k+1))$ делится на 6.

Преобразуем выражение:

$(k+1)^3 + 3(k+1)^2 + 2(k+1) = (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + 3(k^2 + 2k + 1) + 2(k + 1)$

$= k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 3k^2 + 6k + 3 + 2k + 2 = (k^3 + 3k^2 + 2k) + 3k^2 + 9k + 6$

Выражение в скобках $(k^3 + 3k^2 + 2k)$ делится на 6 по индукционному предположению. Рассмотрим оставшуюся часть: $3k^2 + 9k + 6 = 3(k^2 + 3k + 2) = 3(k+1)(k+2)$.

Произведение двух последовательных целых чисел $(k+1)(k+2)$ всегда четно, то есть делится на 2. Значит, выражение $3(k+1)(k+2)$ делится на $3 \cdot 2 = 6$.

Таким образом, выражение для $n=k+1$ является суммой двух слагаемых, каждое из которых делится на 6. Следовательно, и все выражение делится на 6.

Утверждение для $n=k+1$ доказано.

По принципу математической индукции, утверждение $(n^3 + 3n^2 + 2n) \vdots 6$ доказано для всех натуральных $\text{n}$.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Докажем равенство $\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{n}{3n+1}$ для любого натурального $\text{n}$ методом математической индукции.

База индукции:

При $n=1$:

Левая часть: $\frac{1}{(3 \cdot 1 - 2)(3 \cdot 1 + 1)} = \frac{1}{1 \cdot 4} = \frac{1}{4}$.

Правая часть: $\frac{1}{3 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{4}$.

Так как левая и правая части равны, формула верна для $n=1$.

Индукционное предположение:

Предположим, что формула верна для некоторого натурального $k \ge 1$: $\frac{1}{1 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{k}{3k+1}$.

Индукционный переход:

Докажем, что формула верна для $n=k+1$, то есть $\frac{1}{1 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{(3(k+1)-2)(3(k+1)+1)} = \frac{k+1}{3(k+1)+1} = \frac{k+1}{3k+4}$.

Рассмотрим левую часть равенства для $n=k+1$:

$(\frac{1}{1 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{(3k-2)(3k+1)}) + \frac{1}{(3(k+1)-2)(3(k+1)+1)}$

Используя индукционное предположение, заменим сумму в скобках:

$\frac{k}{3k+1} + \frac{1}{(3k+1)(3k+4)}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{k(3k+4) + 1}{(3k+1)(3k+4)} = \frac{3k^2 + 4k + 1}{(3k+1)(3k+4)}$

Разложим числитель на множители: $3k^2 + 4k + 1 = 3k^2 + 3k + k + 1 = 3k(k+1) + (k+1) = (3k+1)(k+1)$.

Подставим разложенный числитель обратно в дробь:

$\frac{(3k+1)(k+1)}{(3k+1)(3k+4)} = \frac{k+1}{3k+4}$.

Полученный результат совпадает с правой частью доказываемого равенства для $n=k+1$.

Утверждение для $n=k+1$ доказано.

По принципу математической индукции, формула верна для всех натуральных чисел $\text{n}$.

Ответ: Равенство доказано.