Номер 0.26, страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.26. Найдите предел:

1) $ \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x^3 - 64} $;

2) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{1-x}}{x} $;

3) $ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{2x^2} $.

1) При прямой подстановке $x=4$ в выражение $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{x^3-64}$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим знаменатель на множители, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ и формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Знаменатель: $x^3 - 64 = x^3 - 4^3 = (x-4)(x^2 + 4x + 16)$.

Заметим, что $x-4 = (\sqrt{x})^2 - 2^2 = (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)$.

Подставим это в исходное выражение:

$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{(x-4)(x^2+4x+16)} = \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)(x^2+4x+16)}$

Сократим дробь на $(\sqrt{x}-2)$, так как при $x \to 4$, $x \neq 4$, и следовательно $\sqrt{x}-2 \neq 0$:

$\lim_{x \to 4} \frac{1}{(\sqrt{x}+2)(x^2+4x+16)}$

Теперь выполним подстановку $x=4$:

$\frac{1}{(\sqrt{4}+2)(4^2+4 \cdot 4+16)} = \frac{1}{(2+2)(16+16+16)} = \frac{1}{4 \cdot 48} = \frac{1}{192}$.

Ответ: $\frac{1}{192}$

2) При подстановке $x=0$ в выражение $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}}{x}$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Для раскрытия неопределенности домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, то есть на $(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x})$.

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x})}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x})}$

В числителе используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$(\sqrt{x+1})^2 - (\sqrt{1-x})^2 = (x+1) - (1-x) = x+1-1+x=2x$.

Предел примет вид:

$\lim_{x \to 0} \frac{2x}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x})}$

Сократим дробь на $\text{x}$, так как при $x \to 0$, $x \neq 0$:

$\lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}}$

Теперь подставим $x=0$:

$\frac{2}{\sqrt{0+1}+\sqrt{1-0}} = \frac{2}{1+1} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: $\text{1}$

3) При подстановке $x=0$ в выражение $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{2x^2}$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся тригонометрической формулой $1 - \cos x = 2\sin^2(\frac{x}{2})$.

Преобразуем выражение в числителе: $\cos x - 1 = -(1 - \cos x) = -2\sin^2(\frac{x}{2})$.

Подставим это в предел:

$\lim_{x \to 0} \frac{-2\sin^2(\frac{x}{2})}{2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin^2(\frac{x}{2})}{x^2}$

Для использования первого замечательного предела $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$, преобразуем знаменатель:

$\lim_{x \to 0} \frac{-\sin^2(\frac{x}{2})}{x^2} = \lim_{x \to 0} -\frac{\sin^2(\frac{x}{2})}{4 \cdot (\frac{x}{2})^2} = -\frac{1}{4} \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}}\right)^2$

Так как при $x \to 0$ также и $\frac{x}{2} \to 0$, то $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}} = 1$.

Следовательно, искомый предел равен:

$-\frac{1}{4} \cdot (1)^2 = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $-\frac{1}{4}$