Номер 0.21, страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.21*. Постройте график функции, содержащей модуль, и объясните результат:

1) $y = \left|\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)\right|;$

2) $y = \sin\left|2x - \frac{\pi}{3}\right|.$

1) Построение графика функции $y = |\sin(2x - \frac{\pi}{3})|$

График функции $y = |f(x)|$ строится на основе графика функции $y = f(x)$. В нашем случае $f(x) = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$. Построение выполняется в несколько шагов:

1. Строим график базовой функции $y = \sin(x)$. Это синусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.
2. Строим график функции $y = \sin(2x)$. Для этого сжимаем график $y = \sin(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox) в 2 раза. Период функции уменьшается вдвое и становится равным $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
3. Строим график функции $y = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$. Для этого преобразуем выражение в скобках: $2x - \frac{\pi}{3} = 2(x - \frac{\pi}{6})$. Это означает, что график функции $y = \sin(2x)$ необходимо сдвинуть вправо вдоль оси Ox на величину $\frac{\pi}{6}$. Это фазовый сдвиг.
4. Строим итоговый график $y = |\sin(2x - \frac{\pi}{3})|$. Модуль, примененный ко всей функции, означает, что все значения функции должны быть неотрицательными. Поэтому:
   • Части графика $y = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$, которые лежат выше или на оси Ox (где $y \ge 0$), остаются без изменений.
   • Части графика, которые лежат ниже оси Ox (где $y < 0$), симметрично отражаются относительно оси Ox.

Объяснение результата: В результате мы получаем периодическую функцию, график которой состоит из одинаковых "горбов", расположенных на оси Ox. Все значения функции неотрицательны, то есть $y \in [0, 1]$. Период исходной функции $y = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$ был равен $\pi$. После взятия модуля отрицательная полуволна отражается вверх, и период итоговой функции уменьшается вдвое.

Ответ: Период функции $y = |\sin(2x - \frac{\pi}{3})|$ равен $T = \frac{\pi}{2}$. График представляет собой последовательность положительных полуволн синусоиды, сдвинутой на $\frac{\pi}{6}$ вправо и сжатой в 2 раза.

2) Построение графика функции $y = \sin|2x - \frac{\pi}{3}|$

График функции $y = f(|x-a|)$ строится на основе графика $y=f(|x|)$ путем сдвига. В нашем случае, $y = \sin|2(x - \frac{\pi}{6})|$. Это означает, что мы можем построить график функции $g(x) = \sin|2x|$, а затем сдвинуть его на $\frac{\pi}{6}$ вправо.

1. Строим график функции $y = \sin(2x)$, как и в предыдущем пункте. Это синусоида с периодом $\pi$.
2. Строим график функции $y = \sin|2x| = \sin(2|x|)$. Построение графика вида $y=h(|x|)$ выполняется следующим образом:
   • Строится график $y=h(x)$ для $x \ge 0$. В нашем случае, это график $y = \sin(2x)$ на промежутке $[0, +\infty)$.
   • Часть графика для $x < 0$ отбрасывается.
   • Построенная для $x \ge 0$ часть графика симметрично отражается относительно оси ординат (Oy).
   В результате график функции $y = \sin(2|x|)$ будет симметричен относительно оси Oy.
3. Строим итоговый график $y = \sin|2x - \frac{\pi}{3}| = \sin(2|x - \frac{\pi}{6}|)$. Для этого сдвигаем весь график функции $y = \sin(2|x|)$ вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{6}$.

Альтернативный способ построения: Раскроем модуль в аргументе функции: $|2x - \frac{\pi}{3}| = \begin{cases} 2x - \frac{\pi}{3}, & \text{ если } x \ge \frac{\pi}{6} \\ -(2x - \frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} - 2x, & \text{ если } x < \frac{\pi}{6} \end{cases}$

Таким образом, функция задается кусочно: $y = \begin{cases} \sin(2x - \frac{\pi}{3}), & \text{ для } x \ge \frac{\pi}{6} \\ \sin(\frac{\pi}{3} - 2x), & \text{ для } x < \frac{\pi}{6} \end{cases}$

Это означает, что справа от вертикальной прямой $x = \frac{\pi}{6}$ график совпадает с графиком $y = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$, а слева от этой прямой график является отражением правой части относительно прямой $x = \frac{\pi}{6}$.

Объяснение результата: Полученный график является симметричным относительно вертикальной прямой $x = \frac{\pi}{6}$. Справа от этой оси симметрии ($x \ge \frac{\pi}{6}$) график выглядит как обычная синусоида $y = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$. Левая часть графика является зеркальным отражением правой. В отличие от первого случая, эта функция не является периодической.

Ответ: График функции $y = \sin|2x - \frac{\pi}{3}|$ симметричен относительно вертикальной прямой $x = \frac{\pi}{6}$. При $x \ge \frac{\pi}{6}$ он совпадает с графиком $y = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$.