Номер 0.15, страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.15. Решите неравенство методом интервалов:

1) $4-x > \frac{1}{x-1};$

2) $\frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+1} > 3.$

1) $4 - x > \frac{1}{x-1}$

Для решения неравенства методом интервалов перенесем все его члены в левую часть, чтобы сравнить выражение с нулем.

$4 - x - \frac{1}{x-1} > 0$

Приведем левую часть к общему знаменателю $(x-1)$:

$\frac{(4-x)(x-1)}{x-1} - \frac{1}{x-1} > 0$

$\frac{(4-x)(x-1) - 1}{x-1} > 0$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{4x - 4 - x^2 + x - 1}{x-1} > 0$

$\frac{-x^2 + 5x - 5}{x-1} > 0$

Чтобы удобнее было работать с числителем, умножим обе части неравенства на -1, при этом изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{x^2 - 5x + 5}{x-1} < 0$

Теперь найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль. Эти точки разделят числовую прямую на интервалы.

Корень знаменателя: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$. В этой точке левая часть неравенства не определена.

Корни числителя: $x^2 - 5x + 5 = 0$.

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 25 - 20 = 5$

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Получили три точки: $\text{1}$, $\frac{5 - \sqrt{5}}{2}$ и $\frac{5 + \sqrt{5}}{2}$. Расположим их на числовой оси. Для этого оценим значения корней: $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, т.е. $2 < \sqrt{5} < 3$.

$\frac{5 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{5 - 2.24}{2} = 1.38$

$\frac{5 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{5 + 2.24}{2} = 3.62$

Следовательно, точки на оси располагаются в порядке: $\text{1}$, $\frac{5 - \sqrt{5}}{2}$, $\frac{5 + \sqrt{5}}{2}$.

Нанесем эти точки на числовую прямую (все точки выколотые, так как неравенство строгое) и определим знаки выражения $\frac{x^2 - 5x + 5}{x-1}$ в каждом из полученных интервалов.

Интервалы: $(-\infty; 1)$, $(1; \frac{5 - \sqrt{5}}{2})$, $(\frac{5 - \sqrt{5}}{2}; \frac{5 + \sqrt{5}}{2})$, $(\frac{5 + \sqrt{5}}{2}; +\infty)$.

Определим знак на крайнем правом интервале $(\frac{5 + \sqrt{5}}{2}; +\infty)$. Возьмем $x=4$: $\frac{4^2 - 5(4) + 5}{4-1} = \frac{16-20+5}{3} = \frac{1}{3} > 0$.

Так как все корни имеют кратность 1, знаки в соседних интервалах будут чередоваться. Расставим знаки: $(+)$, $(-)$, $(+)$, $(-)$ справа налево.

$(-\infty; 1)$: знак $(-)$

$(1; \frac{5 - \sqrt{5}}{2})$: знак $(+)$

$(\frac{5 - \sqrt{5}}{2}; \frac{5 + \sqrt{5}}{2})$: знак $(-)$

$(\frac{5 + \sqrt{5}}{2}; +\infty)$: знак $(+)$

Нас интересуют интервалы, где $\frac{x^2 - 5x + 5}{x-1} < 0$. Это интервалы $(-\infty; 1)$ и $(\frac{5 - \sqrt{5}}{2}; \frac{5 + \sqrt{5}}{2})$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (\frac{5 - \sqrt{5}}{2}; \frac{5 + \sqrt{5}}{2})$.

2) $\frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+1} > 3$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+1} - 3 > 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x+1) = x^2-1$:

$\frac{2(x+1) - 1(x-1) - 3(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} > 0$

Упростим числитель:

$\frac{2x + 2 - x + 1 - 3(x^2-1)}{x^2-1} > 0$

$\frac{x + 3 - 3x^2 + 3}{x^2-1} > 0$

$\frac{-3x^2 + x + 6}{x^2-1} > 0$

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:

$\frac{3x^2 - x - 6}{x^2-1} < 0$

Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули знаменателя: $x^2-1 = 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow x=-1, x=1$.

Нули числителя: $3x^2 - x - 6 = 0$.

Решим через дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 1 + 72 = 73$

Корни: $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{73}}{6}$.

Получили четыре точки для анализа на числовой прямой: $-1, 1, \frac{1 - \sqrt{73}}{6}, \frac{1 + \sqrt{73}}{6}$.

Оценим значения корней: $8 < \sqrt{73} < 9$.

$\frac{1 - \sqrt{73}}{6} \approx \frac{1 - 8.54}{6} \approx -1.26$. Это значение меньше $-1$.

$\frac{1 + \sqrt{73}}{6} \approx \frac{1 + 8.54}{6} \approx 1.59$. Это значение больше $\text{1}$.

Располагаем точки на числовой оси в порядке возрастания: $\frac{1 - \sqrt{73}}{6}, -1, 1, \frac{1 + \sqrt{73}}{6}$.

Неравенство $\frac{3x^2 - x - 6}{(x-1)(x+1)} < 0$ решаем методом интервалов. Все корни имеют кратность 1, поэтому знаки будут чередоваться.

Определим знак на крайнем правом интервале $(\frac{1 + \sqrt{73}}{6}; +\infty)$, взяв, например, $x=2$:

$\frac{3(2)^2 - 2 - 6}{2^2-1} = \frac{12-2-6}{3} = \frac{4}{3} > 0$.

Расставляем знаки справа налево: $(+)$, $(-)$, $(+)$, $(-)$, $(+)$.

Интервалы и знаки на них:

$(-\infty; \frac{1 - \sqrt{73}}{6})$: знак $(+)$

$(\frac{1 - \sqrt{73}}{6}; -1)$: знак $(-)$

$(-1; 1)$: знак $(+)$

$(1; \frac{1 + \sqrt{73}}{6})$: знак $(-)$

$(\frac{1 + \sqrt{73}}{6}; +\infty)$: знак $(+)$

Мы ищем интервалы, где выражение меньше нуля. Это $(\frac{1 - \sqrt{73}}{6}; -1)$ и $(1; \frac{1 + \sqrt{73}}{6})$.

Ответ: $x \in (\frac{1 - \sqrt{73}}{6}; -1) \cup (1; \frac{1 + \sqrt{73}}{6})$.