Номер 0.9, страница 6, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.9. Решите неравенство:

1) $ \sin x < \frac{\sqrt{3}}{2} $

2) $ \cos x + 0,5 < 0 $

3) $ 3 \operatorname{tg} x - \sqrt{3} > 0 $

4) $ \sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi}{3} + \frac{x}{2} \right) > 1 $

5) $ 2 \cos x \geq - \sqrt{2} $

6) $ \sqrt{3} \operatorname{tg} \left( 3x + \frac{\pi}{6} \right) < 1 $

1) $sinx < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Сначала решим уравнение $sinx = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Его решения на единичной окружности соответствуют углам $x_1 = \frac{\pi}{3}$ и $x_2 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Неравенство $sinx < \frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется для тех углов, ордината (значение синуса) которых на единичной окружности меньше, чем $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это соответствует дуге, которая начинается в точке $\frac{2\pi}{3}$ и, двигаясь против часовой стрелки, заканчивается в точке $\frac{\pi}{3}$ следующего оборота.

Таким образом, интервал решений для одного оборота можно записать как $(\frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{3} + 2\pi)$. С учетом периодичности синуса (период $2\pi$), общее решение имеет вид:

$\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi(n+1)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Это же множество можно записать в более компактной форме: $-\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{4\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

2) $cosx + 0,5 < 0$

Преобразуем неравенство к виду $cosx < -0,5$ или $cosx < -\frac{1}{2}$.

Решим уравнение $cosx = -\frac{1}{2}$. Его решения на единичной окружности соответствуют углам $x_1 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ и $x_2 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

Неравенство $cosx < -\frac{1}{2}$ выполняется для углов, абсцисса (значение косинуса) которых на единичной окружности меньше, чем $-\frac{1}{2}$. Это соответствует дуге между точками $\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{4\pi}{3}$.

С учетом периодичности косинуса (период $2\pi$), общее решение:

$\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \frac{4\pi}{3} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

3) $3tgx - \sqrt{3} > 0$

Преобразуем неравенство: $3tgx > \sqrt{3}$, откуда $tgx > \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Функция тангенс имеет период $\pi$. Рассмотрим решение на основном интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Уравнение $tgx = \frac{\sqrt{3}}{3}$ имеет на этом интервале решение $x = \frac{\pi}{6}$.

Так как функция $y=tgx$ возрастает на всем интервале определения, неравенство $tgx > \frac{\sqrt{3}}{3}$ выполняется для $\text{x}$ от $\frac{\pi}{6}$ до конца интервала (до вертикальной асимптоты $x=\frac{\pi}{2}$).

Таким образом, на одном периоде решение: $\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2}$.

С учетом периодичности тангенса, общее решение:

$\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

4) $\sqrt{2}sin(\frac{\pi}{3} + \frac{x}{2}) > 1$

Преобразуем неравенство: $sin(\frac{\pi}{3} + \frac{x}{2}) > \frac{1}{\sqrt{2}}$, или $sin(\frac{\pi}{3} + \frac{x}{2}) > \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Введем замену: $t = \frac{\pi}{3} + \frac{x}{2}$. Неравенство примет вид $sint > \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решения этого неравенства находятся в интервале $\frac{\pi}{4} < t < \frac{3\pi}{4}$. С учетом периодичности: $\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Вернемся к переменной $\text{x}$:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi n < \frac{\pi}{3} + \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

Вычтем $\frac{\pi}{3}$ из всех частей неравенства:

$\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n < \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$-\frac{\pi}{12} + 2\pi n < \frac{x}{2} < \frac{5\pi}{12} + 2\pi n$

Умножим все части на 2:

$-\frac{\pi}{6} + 4\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{6} + 4\pi n; \frac{5\pi}{6} + 4\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

5) $2cosx \ge -\sqrt{2}$

Преобразуем неравенство к виду $cosx \ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решим уравнение $cosx = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Его решения на единичной окружности в интервале $[-\pi, \pi]$ это $x_1 = -\frac{3\pi}{4}$ и $x_2 = \frac{3\pi}{4}$.

Неравенство $cosx \ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется для углов, абсцисса которых на единичной окружности больше или равна $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это соответствует дуге, заключенной между точками $-\frac{3\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{4}$.

С учетом периодичности косинуса, общее решение:

$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n; \frac{3\pi}{4} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

6) $\sqrt{3}tg(3x + \frac{\pi}{6}) < 1$

Преобразуем неравенство: $tg(3x + \frac{\pi}{6}) < \frac{1}{\sqrt{3}}$, или $tg(3x + \frac{\pi}{6}) < \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Введем замену: $t = 3x + \frac{\pi}{6}$. Неравенство примет вид $tgt < \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Решением уравнения $tgt = \frac{\sqrt{3}}{3}$ является $t = \frac{\pi}{6}$. Учитывая, что тангенс возрастает, а его область определения на одном периоде $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, решение для $\text{t}$ будет $-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{6}$.

С учетом периодичности: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Вернемся к переменной $\text{x}$:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < 3x + \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{6} + \pi n$

Вычтем $\frac{\pi}{6}$ из всех частей:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \pi n < 3x < \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + \pi n$

$-\frac{4\pi}{6} + \pi n < 3x < \pi n$

$-\frac{2\pi}{3} + \pi n < 3x < \pi n$

Разделим все части на 3:

$-\frac{2\pi}{9} + \frac{\pi n}{3} < x < \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{2\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}; \frac{\pi n}{3}), n \in \mathbb{Z}$.