Номер 0.2, страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.2. Запишите сложную функцию $f(g(x))$:

1) $f(x)=x^2$, $g(x)=3x-2$;

2) $f(x)=\sqrt{x+1}$, $g(x)=\sin x$;

3) $f(x)=\cos x$, $g(x)=x^2-2x-3$;

4) $f(x)=\sqrt{2x+1}$, $g(x)=\frac{x^2}{2}+x$.

1) Чтобы найти сложную функцию $f(g(x))$, необходимо подставить выражение для функции $g(x)$ в функцию $f(x)$ на место переменной $\text{x}$.

Даны функции: $f(x) = x^2$ и $g(x) = 3x - 2$.

Выполним подстановку $g(x)$ в $f(x)$:

$f(g(x)) = (g(x))^2 = (3x - 2)^2$.

Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$.

Ответ: $f(g(x)) = 9x^2 - 12x + 4$.

2) Даны функции: $f(x) = \sqrt{x+1}$ и $g(x) = \sin x$.

Подставляем функцию $g(x)$ в функцию $f(x)$:

$f(g(x)) = \sqrt{g(x)+1} = \sqrt{\sin x + 1}$.

Дальнейшее упрощение выражения невозможно.

Ответ: $f(g(x)) = \sqrt{\sin x + 1}$.

3) Даны функции: $f(x) = \cos x$ и $g(x) = x^2 - 2x - 3$.

Подставляем функцию $g(x)$ в функцию $f(x)$:

$f(g(x)) = \cos(g(x)) = \cos(x^2 - 2x - 3)$.

Аргумент косинуса является многочленом, и дальнейшие упрощения не требуются.

Ответ: $f(g(x)) = \cos(x^2 - 2x - 3)$.

4) Даны функции: $f(x) = \sqrt{2x+1}$ и $g(x) = \frac{x^2}{2} + x$.

Подставляем функцию $g(x)$ в функцию $f(x)$:

$f(g(x)) = \sqrt{2(g(x))+1} = \sqrt{2\left(\frac{x^2}{2} + x\right) + 1}$.

Упростим выражение под знаком корня:

$2\left(\frac{x^2}{2} + x\right) + 1 = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 2 \cdot x + 1 = x^2 + 2x + 1$.

Полученное выражение является полным квадратом суммы: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.

Тогда сложная функция принимает вид:

$f(g(x)) = \sqrt{(x+1)^2}$.

Согласно определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$, поэтому:

$f(g(x)) = |x+1|$.

Ответ: $f(g(x)) = |x+1|$.