Номер 0.5, страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.5. Определите знак выражения:

1) $ \sin 138^\circ + \cos 50^\circ $;

2) $ \sin \frac{7\pi}{5} - \sin \frac{17\pi}{10} $;

3) $ \sin \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} $;

4) $ \tan 3,14 - \tan \pi $.

1) $sin\,138o + cos\,50o $. Определим знаки каждого слагаемого. Угол $138o $ находится во второй координатной четверти ($90o < 138o < 180o $), где синус является положительной функцией, следовательно, $sin\,138o > 0$. Угол $50o $ находится в первой координатной четверти ($0o < 50o < 90o $), где косинус также является положительной функцией, следовательно, $cos\,50o > 0$. Сумма двух положительных чисел всегда положительна. Таким образом, выражение $sin\,138o + cos\,50o $ имеет положительный знак.

Ответ: +

2) $sin\,\frac{7\pi}{5} - sin\,\frac{17\pi}{10}$. Для определения знака разности воспользуемся формулами приведения. Преобразуем каждый член выражения.

$sin\,\frac{7\pi}{5} = sin\,(\pi + \frac{2\pi}{5}) = -sin\,\frac{2\pi}{5}$.

$sin\,\frac{17\pi}{10} = sin\,(2\pi - \frac{3\pi}{10}) = -sin\,\frac{3\pi}{10}$.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$-sin\,\frac{2\pi}{5} - (-sin\,\frac{3\pi}{10}) = sin\,\frac{3\pi}{10} - sin\,\frac{2\pi}{5}$.

Сравним аргументы синусов: $\frac{2\pi}{5} = \frac{4\pi}{10}$. Оба угла, $\frac{3\pi}{10}$ и $\frac{4\pi}{10}$, находятся в первой четверти ($0 < \frac{3\pi}{10} < \frac{\pi}{2}$ и $0 < \frac{4\pi}{10} < \frac{\pi}{2}$). В первой четверти функция синуса возрастает, поэтому из неравенства $\frac{3\pi}{10} < \frac{4\pi}{10}$ следует, что $sin\,\frac{3\pi}{10} < sin\,\frac{4\pi}{10}$. Следовательно, разность $sin\,\frac{3\pi}{10} - sin\,\frac{4\pi}{10}$ отрицательна.

Ответ: -

3) $sin\,\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдем значение $sin\,\frac{2\pi}{3}$. Угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во второй четверти. Используя формулу приведения, получаем: $sin\,\frac{2\pi}{3} = sin\,(\pi - \frac{\pi}{3}) = sin\,\frac{\pi}{3}$. Табличное значение $sin\,\frac{\pi}{3}$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это значение в исходное выражение: $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$. Выражение равно нулю, следовательно, оно не имеет знака.

Ответ: 0

4) $tg\,3,14 - tg\,\pi$. Известно, что значение $tg\,\pi = 0$. Тогда выражение упрощается до $tg\,3,14$. Чтобы определить знак этого значения, нужно определить, в какой четверти находится угол $3,14$ радиан. Мы знаем, что $\pi \approx 3,14159...$ и $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$. Так как выполняется неравенство $1,57 < 3,14 < 3,14159...$, то есть $\frac{\pi}{2} < 3,14 < \pi$, угол $3,14$ радиан находится во второй координатной четверти. Тангенс во второй четверти отрицателен ($tg\,x = \frac{sin\,x}{cos\,x}$, где $sin\,x > 0$ и $cos\,x < 0$). Следовательно, $tg\,3,14 < 0$.

Ответ: -