Номер 0.13, страница 6, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.13. Найдите промежутки возрастания функции:

1) $y = \frac{x}{4} + \frac{4}{x}$;

2) $y = x^3 + 6x^2 + 9x$;

3) $y = 3\cos x$.

1) Для нахождения промежутков возрастания функции $y = \frac{x}{4} + \frac{4}{x}$ необходимо найти ее производную и определить, на каких интервалах производная положительна.

Область определения функции: $x \neq 0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Находим производную функции:

$y' = (\frac{x}{4} + \frac{4}{x})' = (\frac{1}{4}x + 4x^{-1})' = \frac{1}{4} - 4x^{-2} = \frac{1}{4} - \frac{4}{x^2}$.

Функция возрастает, когда ее производная $y' > 0$. Решим неравенство:

$\frac{1}{4} - \frac{4}{x^2} > 0$

$\frac{x^2 - 16}{4x^2} > 0$

Так как знаменатель $4x^2 > 0$ при всех $\text{x}$ из области определения, знак дроби совпадает со знаком числителя. Следовательно, мы решаем неравенство:

$x^2 - 16 > 0$

$(x-4)(x+4) > 0$

Решением этого неравенства являются промежутки $x \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$.

Включая концы промежутков, на которых функция непрерывна, получаем промежутки возрастания $(-\infty; -4]$ и $[4; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -4]$ и $[4; +\infty)$.

2) Найдем промежутки возрастания для функции $y = x^3 + 6x^2 + 9x$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Находим производную:

$y' = (x^3 + 6x^2 + 9x)' = 3x^2 + 12x + 9$.

Функция возрастает при $y' > 0$. Решим неравенство:

$3x^2 + 12x + 9 > 0$

Разделим обе части на 3:

$x^2 + 4x + 3 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$.

Графиком функции $f(x) = x^2 + 4x + 3$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, неравенство $x^2 + 4x + 3 > 0$ выполняется, когда $\text{x}$ находится вне интервала между корнями.

То есть, при $x \in (-\infty; -3) \cup (-1; +\infty)$.

Так как функция непрерывна на всей числовой оси, промежутками возрастания будут $(-\infty; -3]$ и $[-1; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[-1; +\infty)$.

3) Найдем промежутки возрастания для функции $y = 3\cos x$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Находим производную:

$y' = (3\cos x)' = -3\sin x$.

Функция возрастает, когда $y' > 0$. Решим неравенство:

$-3\sin x > 0$

$\sin x < 0$

Синус отрицателен в III и IV четвертях единичной окружности. Это соответствует углам $\text{x}$ в интервале $(\pi; 2\pi)$ и всем интервалам, полученным добавлением периода $2\pi k$, где $\text{k}$ — любое целое число.

Таким образом, $\pi + 2\pi k < x < 2\pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Включая концы промежутков, где функция непрерывна, получаем промежутки возрастания $[\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.