Номер 0.39, страница 9, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.39. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = 2x^3 - 3x^2 + 6x$, параллельной прямой $y = 6x - 5$.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Угловой коэффициент касательной, $\text{k}$, равен значению производной в точке касания: $k = f'(x_0)$.

По условию, касательная должна быть параллельна прямой $y = 6x - 5$. Условие параллельности двух прямых — равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент прямой $y = 6x - 5$ равен 6.

Следовательно, угловой коэффициент искомой касательной также равен 6, то есть $f'(x_0) = 6$.

Найдем производную функции $y = f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 6x$: $f'(x) = (2x^3 - 3x^2 + 6x)' = 6x^2 - 6x + 6$.

Теперь найдем абсциссы $x_0$ точек касания, решив уравнение $f'(x_0) = 6$: $6x_0^2 - 6x_0 + 6 = 6$ $6x_0^2 - 6x_0 = 0$ $6x_0(x_0 - 1) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_0 = 0$ и $x_0 = 1$. Это означает, что существуют две точки на графике функции, в которых касательные параллельны данной прямой.

Рассмотрим каждый случай.

Если $x_0 = 0$, то ордината точки касания равна: $y_0 = f(0) = 2(0)^3 - 3(0)^2 + 6(0) = 0$. Точка касания — $(0, 0)$. Уравнение касательной в этой точке с угловым коэффициентом $k=6$: $y - y_0 = k(x - x_0)$ $y - 0 = 6(x - 0)$ $y = 6x$.

Если $x_0 = 1$, то ордината точки касания равна: $y_0 = f(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 + 6(1) = 2 - 3 + 6 = 5$. Точка касания — $(1, 5)$. Уравнение касательной в этой точке с угловым коэффициентом $k=6$: $y - y_0 = k(x - x_0)$ $y - 5 = 6(x - 1)$ $y - 5 = 6x - 6$ $y = 6x - 1$.

Таким образом, существуют две касательные, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: $y = 6x$ и $y = 6x - 1$.