Номер 1.3, страница 20, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.3. Покажите, что заданная функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$:

1) $F(x) = 2\sqrt{x}$, $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$;

2) $F(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} + x$, $f(x) = -\frac{1}{x\sqrt{x}} + 1$;

3) $F(x) = \frac{x^4}{4} + 3x + 1$, $f(x) = x^3 + 3$;

4) $F(y) = \cos 5y + y$, $f(y) = -5\sin 5y + 1$;

5) $F(z) = \frac{1}{z-1}$, $f(z) = -\frac{1}{(z-1)^2}$;

1)

Чтобы показать, что функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и убедиться, что она равна $f(x)$.

Найдем производную функции $F(x) = 2\sqrt{x}$. Для удобства дифференцирования запишем корень в виде степени:

$F(x) = 2x^{1/2}$

Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:

$F'(x) = (2x^{1/2})' = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = 1 \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{x^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Сравниваем результат с $f(x)$: $F'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ и $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Так как $F'(x) = f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Ответ: Доказано.

2)

Проверим, что производная функции $F(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} + x$ равна функции $f(x) = -\frac{1}{x\sqrt{x}} + 1$.

Представим $F(x)$ в виде суммы степенных функций:

$F(x) = 2x^{-1/2} + x^1$

Найдем производную, используя правила дифференцирования суммы и степенной функции:

$F'(x) = (2x^{-1/2} + x)' = (2x^{-1/2})' + (x)' = 2 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-\frac{1}{2}-1} + 1 \cdot x^{1-1} = -x^{-3/2} + 1$

Преобразуем полученное выражение:

$-x^{-3/2} + 1 = -\frac{1}{x^{3/2}} + 1 = -\frac{1}{x\sqrt{x}} + 1$

Сравниваем результат с $f(x)$: $F'(x) = -\frac{1}{x\sqrt{x}} + 1$ и $f(x) = -\frac{1}{x\sqrt{x}} + 1$.

Так как $F'(x) = f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Ответ: Доказано.

3)

Проверим, что производная функции $F(x) = \frac{x^4}{4} + 3x + 1$ равна функции $f(x) = x^3 + 3$.

Найдем производную функции $F(x)$ по правилам дифференцирования суммы и степенной функции:

$F'(x) = (\frac{x^4}{4} + 3x + 1)' = (\frac{1}{4}x^4)' + (3x)' + (1)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^{4-1} + 3 \cdot 1 + 0 = x^3 + 3$

Сравниваем результат с $f(x)$: $F'(x) = x^3 + 3$ и $f(x) = x^3 + 3$.

Так как $F'(x) = f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Ответ: Доказано.

4)

Проверим, что производная функции $F(y) = \cos5y + y$ равна функции $f(y) = -5\sin5y + 1$.

Найдем производную функции $F(y)$, используя правило дифференцирования сложной функции для $\cos5y$:

$F'(y) = (\cos5y + y)' = (\cos5y)' + (y)' = -\sin(5y) \cdot (5y)' + 1 = -\sin(5y) \cdot 5 + 1 = -5\sin5y + 1$

Сравниваем результат с $f(y)$: $F'(y) = -5\sin5y + 1$ и $f(y) = -5\sin5y + 1$.

Так как $F'(y) = f(y)$, то $F(y)$ является первообразной для $f(y)$.

Ответ: Доказано.

5)

Проверим, что производная функции $F(z) = \frac{1}{z-1}$ равна функции $f(z) = -\frac{1}{(z-1)^2}$.

Запишем $F(z)$ в виде степени:

$F(z) = (z-1)^{-1}$

Найдем производную, используя правило дифференцирования степенной и сложной функции:

$F'(z) = ((z-1)^{-1})' = -1 \cdot (z-1)^{-1-1} \cdot (z-1)' = -1 \cdot (z-1)^{-2} \cdot 1 = -(z-1)^{-2} = -\frac{1}{(z-1)^2}$

Сравниваем результат с $f(z)$: $F'(z) = -\frac{1}{(z-1)^2}$ и $f(z) = -\frac{1}{(z-1)^2}$.

Так как $F'(z) = f(z)$, то $F(z)$ является первообразной для $f(z)$.

Ответ: Доказано.