Номер 1.6, страница 21, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.6. Найдите интеграл от данной функции, проверьте найденный результат с помощью производной:

1) $\int x^{\frac{2}{3}} dx;$

2) $\int 7x^{\frac{4}{3}} dx;$

3) $\int x^{-\frac{1}{2}} dx.$

1)

Для нахождения неопределенного интеграла от степенной функции $x^n$ используется формула: $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $, где $\text{C}$ - произвольная постоянная интегрирования.

В данном случае показатель степени $n = \frac{2}{3}$. Применяя формулу, получаем:

$ \int x^{\frac{2}{3}} dx = \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} + C = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + C = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + C $.

Теперь выполним проверку, найдя производную от полученного результата. Производная степенной функции находится по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$ \left( \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + C \right)' = \frac{3}{5} \cdot \left( x^{\frac{5}{3}} \right)' + (C)' = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}x^{\frac{5}{3}-1} + 0 = x^{\frac{2}{3}} $.

Производная от результата интегрирования равна исходной подынтегральной функции, следовательно, интеграл найден верно.

Ответ: $ \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + C $.

2)

Воспользуемся свойством вынесения константы за знак интеграла $ \int a \cdot f(x) dx = a \int f(x) dx $ и формулой для интеграла степенной функции.

$ \int 7x^{\frac{4}{3}} dx = 7 \int x^{\frac{4}{3}} dx $.

В этом случае показатель степени $n = \frac{4}{3}$.

$ 7 \int x^{\frac{4}{3}} dx = 7 \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}+1}}{\frac{4}{3}+1} + C = 7 \cdot \frac{x^{\frac{7}{3}}}{\frac{7}{3}} + C = 7 \cdot \frac{3}{7}x^{\frac{7}{3}} + C = 3x^{\frac{7}{3}} + C $.

Проверим результат с помощью дифференцирования:

$ \left( 3x^{\frac{7}{3}} + C \right)' = 3 \cdot \left( x^{\frac{7}{3}} \right)' + (C)' = 3 \cdot \frac{7}{3}x^{\frac{7}{3}-1} + 0 = 7x^{\frac{4}{3}} $.

Производная совпадает с подынтегральной функцией, значит, решение верное.

Ответ: $ 3x^{\frac{7}{3}} + C $.

3)

Снова используем формулу для интеграла степенной функции. В данном случае показатель степени $n = -\frac{1}{2}$.

$ \int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2x^{\frac{1}{2}} + C $.

Результат также можно записать как $2\sqrt{x} + C$.

Проверим найденный интеграл дифференцированием:

$ \left( 2x^{\frac{1}{2}} + C \right)' = 2 \cdot \left( x^{\frac{1}{2}} \right)' + (C)' = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} + 0 = x^{-\frac{1}{2}} $.

Производная равна исходной подынтегральной функции, что подтверждает правильность решения.

Ответ: $ 2x^{\frac{1}{2}} + C $.