Номер 1.12, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.12. Найдите функцию $y = f(x)$, график которой проходит через точку M, если известна производная $f'(x)$:

1) $f'(x) = 2x - 1$, $M(2;3)$;

2) $f'(x) = 3x^2 - 3$, $M(1;2)$;

3) $f'(x) = \frac{6}{x^3}$, $M(1;4)$;

4) $f'(x) = 3 - x^2$, $M(6;1)$;

5) $f'(x) = 6x^2 + 12\sqrt{x}$, $M(4;10)$.

1)

Чтобы найти функцию $f(x)$, необходимо найти ее первообразную, зная производную $f'(x)$. Этот процесс называется интегрированием.

Общий вид первообразной для $f'(x) = 2x - 1$ находится как неопределенный интеграл:

$f(x) = \int (2x - 1) \,dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - 1 \cdot x + C = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C = x^2 - x + C$.

Здесь $\text{C}$ — произвольная постоянная. Чтобы найти ее значение, используем информацию о том, что график функции проходит через точку $M(2;3)$. Это означает, что при $x=2$, значение функции $f(2)$ равно $\text{3}$.

Подставим координаты точки в уравнение функции:

$3 = (2)^2 - 2 + C$

$3 = 4 - 2 + C$

$3 = 2 + C$

$C = 3 - 2 = 1$.

Теперь подставляем найденное значение $C=1$ в общее уравнение функции:

$f(x) = x^2 - x + 1$.

Ответ: $f(x) = x^2 - x + 1$.

2)

Находим первообразную для $f'(x) = 3x^2 - 3$:

$f(x) = \int (3x^2 - 3) \,dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 3x + C = x^3 - 3x + C$.

График функции проходит через точку $M(1;2)$, поэтому $f(1) = 2$.

Подставляем значения в уравнение функции:

$2 = (1)^3 - 3(1) + C$

$2 = 1 - 3 + C$

$2 = -2 + C$

$C = 2 + 2 = 4$.

Следовательно, искомая функция:

$f(x) = x^3 - 3x + 4$.

Ответ: $f(x) = x^3 - 3x + 4$.

3)

Находим первообразную для $f'(x) = \frac{6}{x^3}$. Для удобства интегрирования представим функцию в виде $f'(x) = 6x^{-3}$.

$f(x) = \int 6x^{-3} \,dx = 6 \cdot \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = 6 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + C = -3x^{-2} + C = -\frac{3}{x^2} + C$.

График проходит через точку $M(1;4)$, значит $f(1) = 4$.

Подставляем значения:

$4 = -\frac{3}{1^2} + C$

$4 = -3 + C$

$C = 4 + 3 = 7$.

Таким образом, искомая функция:

$f(x) = -\frac{3}{x^2} + 7$.

Ответ: $f(x) = 7 - \frac{3}{x^2}$.

4)

Находим первообразную для $f'(x) = 3 - x^2$:

$f(x) = \int (3 - x^2) \,dx = 3x - \frac{x^3}{3} + C$.

График проходит через точку $M(6;1)$, поэтому $f(6) = 1$.

Подставляем значения:

$1 = 3(6) - \frac{6^3}{3} + C$

$1 = 18 - \frac{216}{3} + C$

$1 = 18 - 72 + C$

$1 = -54 + C$

$C = 1 + 54 = 55$.

Искомая функция:

$f(x) = 3x - \frac{x^3}{3} + 55$.

Ответ: $f(x) = 3x - \frac{x^3}{3} + 55$.

5)

Находим первообразную для $f'(x) = 6x^2 + 12\sqrt{x}$. Представим функцию в виде $f'(x) = 6x^2 + 12x^{1/2}$.

$f(x) = \int (6x^2 + 12x^{1/2}) \,dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} + 12 \cdot \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + C$

$f(x) = 2x^3 + 12 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = 2x^3 + 12 \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} + C = 2x^3 + 8x^{3/2} + C$.

Выражение $x^{3/2}$ можно записать как $x\sqrt{x}$. Тогда $f(x) = 2x^3 + 8x\sqrt{x} + C$.

График проходит через точку $M(4;10)$, значит $f(4) = 10$.

Подставляем значения:

$10 = 2(4)^3 + 8(4)\sqrt{4} + C$

$10 = 2(64) + 8(4)(2) + C$

$10 = 128 + 64 + C$

$10 = 192 + C$

$C = 10 - 192 = -182$.

Искомая функция:

$f(x) = 2x^3 + 8x\sqrt{x} - 182$.

Ответ: $f(x) = 2x^3 + 8x\sqrt{x} - 182$.