Номер 1.15, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В задачах 1.13-1.16 дается график производной $y = f'(x)$ функции $y = f(x)$. Постройте два варианта графика функции $y = f(x)$. По графику производной найдите промежутки возрастания и убывания функции $y = f(x)$.

1.15. $y = f'(x)$

По графику производной найдите промежутки возрастания и убывания функции y = f(x).

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $y=f(x)$ необходимо проанализировать знак ее производной $y=f'(x)$.

1. Если на некотором промежутке производная $f'(x) > 0$, то функция $f(x)$ на этом промежутке возрастает.

2. Если на некотором промежутке производная $f'(x) < 0$, то функция $f(x)$ на этом промежутке убывает.

Нам дан график функции $y=f'(x)$. Это парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдем на графике промежутки, где $f'(x)$ положительна и где отрицательна.

- График $f'(x)$ расположен выше оси абсцисс (то есть $f'(x) > 0$) на интервале между точками пересечения с этой осью. Судя по разметке, точки пересечения (нули производной) находятся в $x = -1.5$ и $x = 1.5$. Таким образом, $f'(x) > 0$ при $x \in (-1.5, 1.5)$.

- График $f'(x)$ расположен ниже оси абсцисс (то есть $f'(x) < 0$) при $\text{x}$, находящихся левее $x = -1.5$ и правее $x = 1.5$. Таким образом, $f'(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -1.5) \cup (1.5, \infty)$.

Следовательно, функция $y=f(x)$ возрастает на промежутке $(-1.5, 1.5)$ и убывает на промежутках $(-\infty, -1.5)$ и $(1.5, \infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-1.5, 1.5)$, убывает на промежутках $(-\infty, -1.5)$ и $(1.5, \infty)$.

Постройте два варианта графика функции y = f(x).

Функция $y=f(x)$ является первообразной для функции $y=f'(x)$, то есть $f(x) = \int f'(x)dx$. Множество всех первообразных для данной функции $f'(x)$ имеет вид $F(x) + C$, где $F(x)$ - одна из первообразных, а $\text{C}$ - произвольная постоянная. Графики таких функций получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси $\text{y}$.

Из анализа знаков производной следует, что в точке $x = -1.5$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка локального минимума функции $f(x)$. В точке $x = 1.5$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка локального максимума функции $f(x)$.

Таким образом, график функции $y=f(x)$ представляет собой кривую, которая убывает до $x = -1.5$, имеет локальный минимум в этой точке, затем возрастает до $x = 1.5$, имеет локальный максимум в этой точке, и после этого снова убывает. Ниже приведены два возможных варианта такого графика, $y=f_1(x)$ и $y=f_2(x)$, где $f_2(x) = f_1(x) + C$ (второй график получен из первого сдвигом вверх).

Ответ: Построены два варианта графика $y=f(x)$, которые являются вертикальными сдвигами друг друга. Каждый график имеет локальный минимум при $x = -1.5$ и локальный максимум при $x = 1.5$.