Номер 1.9, страница 22, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.9. Пользуясь таблицей интегралов, найдите:

1) $\int \frac{1 + \cos^2 x}{\cos^2 x} dx;$

2) $\int (\sin x + 3\cos x) dx;$

3) $\int (x^3 - \sin x) dx;$

4) $\int \left( \frac{1}{\sin^2 x} + \frac{3\cos x}{2} \right) dx;$

5) $\int \left( 3\cos x + \frac{1}{\sin^2 x} \right) dx;$

6) $\int \left( 6x^5 - \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} \right) dx.$

1) Для нахождения данного интеграла воспользуемся свойством аддитивности и таблицей основных интегралов.

Сначала преобразуем подынтегральное выражение, разделив числитель на знаменатель почленно:

$ \int \frac{1+\cos^2x}{\cos^2x}dx = \int (\frac{1}{\cos^2x} + \frac{\cos^2x}{\cos^2x})dx = \int (\frac{1}{\cos^2x} + 1)dx $

Теперь воспользуемся свойством линейности интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов):

$ \int (\frac{1}{\cos^2x} + 1)dx = \int \frac{1}{\cos^2x}dx + \int 1dx $

Согласно таблице интегралов, $ \int \frac{1}{\cos^2x}dx = \tan x + C $ и $ \int 1dx = x + C $.

Следовательно, получаем:

$ \tan x + x + C $, где $ C $ – произвольная постоянная.

Ответ: $ \tan x + x + C $

2) Для нахождения данного интеграла воспользуемся свойством линейности и таблицей основных интегралов.

Интеграл суммы равен сумме интегралов:

$ \int (\sin x + 3\cos x)dx = \int \sin x dx + \int 3\cos x dx $

Вынесем константу за знак интеграла:

$ \int \sin x dx + 3\int \cos x dx $

Согласно таблице интегралов, $ \int \sin x dx = -\cos x + C $ и $ \int \cos x dx = \sin x + C $.

Следовательно, получаем:

$ -\cos x + 3\sin x + C $, где $ C $ – произвольная постоянная.

Ответ: $ 3\sin x - \cos x + C $

3) Для нахождения данного интеграла воспользуемся свойством линейности и таблицей основных интегралов.

Интеграл разности равен разности интегралов:

$ \int (x^3 - \sin x)dx = \int x^3dx - \int \sin x dx $

Согласно таблице интегралов, $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ и $ \int \sin x dx = -\cos x + C $.

Применяя эти формулы, получаем:

$ \frac{x^{3+1}}{3+1} - (-\cos x) + C = \frac{x^4}{4} + \cos x + C $, где $ C $ – произвольная постоянная.

Ответ: $ \frac{x^4}{4} + \cos x + C $

4) Для нахождения данного интеграла воспользуемся свойством линейности и таблицей основных интегралов.

Интеграл суммы равен сумме интегралов:

$ \int (\frac{1}{\sin^2x} + \frac{3\cos x}{2})dx = \int \frac{1}{\sin^2x}dx + \int \frac{3\cos x}{2}dx $

Вынесем константу за знак интеграла во втором слагаемом:

$ \int \frac{1}{\sin^2x}dx + \frac{3}{2}\int \cos x dx $

Согласно таблице интегралов, $ \int \frac{1}{\sin^2x}dx = -\cot x + C $ и $ \int \cos x dx = \sin x + C $.

Следовательно, получаем:

$ -\cot x + \frac{3}{2}\sin x + C $, где $ C $ – произвольная постоянная.

Ответ: $ -\cot x + \frac{3}{2}\sin x + C $

5) Для нахождения данного интеграла воспользуемся свойством линейности и таблицей основных интегралов.

Интеграл суммы равен сумме интегралов:

$ \int (3\cos x + \frac{1}{\sin^2x})dx = \int 3\cos x dx + \int \frac{1}{\sin^2x}dx $

Вынесем константу за знак интеграла в первом слагаемом:

$ 3\int \cos x dx + \int \frac{1}{\sin^2x}dx $

Согласно таблице интегралов, $ \int \cos x dx = \sin x + C $ и $ \int \frac{1}{\sin^2x}dx = -\cot x + C $.

Следовательно, получаем:

$ 3\sin x - \cot x + C $, где $ C $ – произвольная постоянная.

Ответ: $ 3\sin x - \cot x + C $

6) Для нахождения данного интеграла сначала преобразуем подынтегральное выражение, используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

В нашем случае $ \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{x}{2}) = \frac{1}{2}\sin x $.

Подставим это выражение в интеграл:

$ \int (6x^5 - \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2})dx = \int (6x^5 - \frac{1}{2}\sin x)dx $

Теперь воспользуемся свойством линейности интеграла:

$ \int 6x^5 dx - \int \frac{1}{2}\sin x dx = 6\int x^5 dx - \frac{1}{2}\int \sin x dx $

Согласно таблице интегралов, $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ и $ \int \sin x dx = -\cos x + C $.

Применяя эти формулы, получаем:

$ 6 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} - \frac{1}{2}(-\cos x) + C = 6 \cdot \frac{x^6}{6} + \frac{1}{2}\cos x + C = x^6 + \frac{1}{2}\cos x + C $, где $ C $ – произвольная постоянная.

Ответ: $ x^6 + \frac{1}{2}\cos x + C $