Номер 1.29, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.29. Восстановите функцию по заданной для нее первообразной:

1) $F(x) = \frac{x^7}{7} + 2\cos2x;$

2) $F(x) = \operatorname{arctg}^2 3x;$

3) $F(x) = \operatorname{tg}^3 2x - \cos5x;$

4) $F(x) = \cos\sqrt{x} - \sin(x^2).$

Чтобы восстановить функцию $f(x)$ по ее первообразной $F(x)$, необходимо найти производную от первообразной, так как по определению первообразной $F'(x) = f(x)$.

1) Дана первообразная $F(x) = \frac{x^7}{7} + 2\cos{2x}$.

Найдем ее производную $f(x) = F'(x) = (\frac{x^7}{7} + 2\cos{2x})'$.

Используем правило дифференцирования суммы, а также формулы производной степенной функции и сложной тригонометрической функции:

$f(x) = (\frac{x^7}{7})' + (2\cos{2x})' = \frac{1}{7} \cdot 7x^{7-1} + 2 \cdot (-\sin{2x}) \cdot (2x)' = x^6 - 2\sin{2x} \cdot 2 = x^6 - 4\sin{2x}$.

Ответ: $f(x) = x^6 - 4\sin{2x}$.

2) Дана первообразная $F(x) = \text{arctg}^2{3x}$.

Найдем ее производную $f(x) = F'(x) = (\text{arctg}^2{3x})'$.

Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

$f(x) = 2\text{arctg}^{2-1}{3x} \cdot (\text{arctg}{3x})'$.

Теперь найдем производную $(\text{arctg}{3x})'$, снова используя цепное правило:

$(\text{arctg}{3x})' = \frac{1}{1+(3x)^2} \cdot (3x)' = \frac{3}{1+9x^2}$.

Подставляем обратно:

$f(x) = 2\text{arctg}{3x} \cdot \frac{3}{1+9x^2} = \frac{6\text{arctg}{3x}}{1+9x^2}$.

Ответ: $f(x) = \frac{6\text{arctg}{3x}}{1+9x^2}$.

3) Дана первообразная $F(x) = \text{tg}^3{2x} - \cos{5x}$.

Найдем ее производную $f(x) = F'(x) = (\text{tg}^3{2x} - \cos{5x})' = (\text{tg}^3{2x})' - (\cos{5x})'$.

Найдем производную первого слагаемого $(\text{tg}^3{2x})'$ по цепному правилу:

$(\text{tg}^3{2x})' = 3\text{tg}^{3-1}{2x} \cdot (\text{tg}{2x})' = 3\text{tg}^2{2x} \cdot \frac{1}{\cos^2{2x}} \cdot (2x)' = 3\text{tg}^2{2x} \cdot \frac{2}{\cos^2{2x}} = \frac{6\text{tg}^2{2x}}{\cos^2{2x}}$.

Найдем производную второго слагаемого $(\cos{5x})'$ по цепному правилу:

$(\cos{5x})' = -\sin{5x} \cdot (5x)' = -5\sin{5x}$.

Таким образом, $f(x) = \frac{6\text{tg}^2{2x}}{\cos^2{2x}} - (-5\sin{5x}) = \frac{6\text{tg}^2{2x}}{\cos^2{2x}} + 5\sin{5x}$.

Ответ: $f(x) = \frac{6\text{tg}^2{2x}}{\cos^2{2x}} + 5\sin{5x}$.

4) Дана первообразная $F(x) = \cos{\sqrt{x}} - \sin(x^2)$.

Найдем ее производную $f(x) = F'(x) = (\cos{\sqrt{x}} - \sin(x^2))' = (\cos{\sqrt{x}})' - (\sin(x^2))'$.

Найдем производную первого слагаемого $(\cos{\sqrt{x}})'$ по цепному правилу:

$(\cos{\sqrt{x}})' = -\sin{\sqrt{x}} \cdot (\sqrt{x})' = -\sin{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{\sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$.

Найдем производную второго слагаемого $(\sin(x^2))'$ по цепному правилу:

$(\sin(x^2))' = \cos(x^2) \cdot (x^2)' = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)$.

Таким образом, $f(x) = -\frac{\sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} - 2x\cos(x^2)$.

Ответ: $f(x) = -\frac{\sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} - 2x\cos(x^2)$.