Номер 1.30, страница 26, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.30*. Найдите первообразную для функции $y = f(x)$, график которой проходит через точку M:

1) $f(x) = \begin{cases} \cos x, & \text{если } x < 0, \\ 1, & \text{если } x \geq 0, \end{cases}$ M (0;0);

2) $f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x < 1, \\ \frac{1}{\sqrt{x}}, & \text{если } x \geq 1, \end{cases}$ M (4;0).

1)

Для функции $f(x) = \begin{cases} \cos x, & \text{если } x < 0 \\ 1, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$ требуется найти первообразную $F(x)$, график которой проходит через точку $M(0; 0)$.

Сначала найдем общий вид первообразной для каждого из интервалов.

При $x < 0$, $f(x) = \cos x$. Первообразная ищется как $\int \cos x \,dx = \sin x + C_1$.

При $x \ge 0$, $f(x) = 1$. Первообразная ищется как $\int 1 \,dx = x + C_2$.

Таким образом, общий вид первообразной $F(x)$ таков: $ F(x) = \begin{cases} \sin x + C_1, & \text{если } x < 0 \\ x + C_2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases} $

По определению, первообразная является непрерывной функцией. Следовательно, $F(x)$ должна быть непрерывна в точке $x=0$, где меняется ее аналитическое выражение. Условие непрерывности в точке $x=0$ заключается в равенстве односторонних пределов значению функции в этой точке: $ \lim_{x \to 0^-} F(x) = F(0) $.

Вычисляем предел слева: $ \lim_{x \to 0^-} (\sin x + C_1) = \sin(0) + C_1 = C_1 $.

Вычисляем значение функции в точке: $ F(0) = 0 + C_2 = C_2 $.

Приравнивая их, получаем $C_1 = C_2$. Пусть $C_1 = C_2 = C$.

Теперь используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(0; 0)$, то есть $F(0)=0$.

Так как $x=0$ принадлежит промежутку $x \ge 0$, используем второе выражение: $ F(0) = 0 + C_2 = 0 $, откуда $C_2 = 0$.

Поскольку $C_1 = C_2$, то $C_1$ также равно 0.

Подставляя найденные значения констант, получаем искомую первообразную.

Ответ: $ F(x) = \begin{cases} \sin x, & \text{если } x < 0 \\ x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases} $

2)

Для функции $f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x < 1 \\ \frac{1}{\sqrt{x}}, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$ требуется найти первообразную $F(x)$, график которой проходит через точку $M(4; 0)$.

Сначала найдем общий вид первообразной для каждого из интервалов.

При $x < 1$, $f(x) = 1$. Первообразная ищется как $\int 1 \,dx = x + C_1$.

При $x \ge 1$, $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$. Первообразная ищется как $\int x^{-1/2} \,dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C_2 = 2\sqrt{x} + C_2$.

Таким образом, общий вид первообразной $F(x)$ таков: $ F(x) = \begin{cases} x + C_1, & \text{если } x < 1 \\ 2\sqrt{x} + C_2, & \text{если } x \ge 1 \end{cases} $

Из условия непрерывности первообразной $F(x)$ в точке $x=1$ имеем: $ \lim_{x \to 1^-} F(x) = F(1) $.

$ \lim_{x \to 1^-} (x + C_1) = 2\sqrt{1} + C_2 $

$ 1 + C_1 = 2 + C_2 $, откуда $ C_1 = C_2 + 1 $.

Теперь используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(4; 0)$, то есть $F(4)=0$.

Так как $x=4$ принадлежит промежутку $x \ge 1$, используем второе выражение: $ F(4) = 2\sqrt{4} + C_2 = 0 $

$ 2 \cdot 2 + C_2 = 0 $

$ 4 + C_2 = 0 $, откуда $C_2 = -4$.

Теперь находим $C_1$ из соотношения $C_1 = C_2 + 1$: $ C_1 = -4 + 1 = -3 $.

Подставляя найденные значения констант $C_1 = -3$ и $C_2 = -4$, получаем искомую первообразную.

Ответ: $ F(x) = \begin{cases} x - 3, & \text{если } x < 1 \\ 2\sqrt{x} - 4, & \text{если } x \ge 1 \end{cases} $