Номер 1.58, страница 34, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.58*. Найдите интеграл методом замены переменной:

1) $\int \frac{x+3}{(3x-4)^{3/2}}dx;$

2) $\int \frac{x^3}{\sqrt[3]{x^2+1}}dx;$

3) $\int \frac{x^2}{(x-1)^4}dx.$

1)

Для нахождения интеграла $\int \frac{x+3}{(3x-4)^{\frac{3}{2}}}dx$ применим метод замены переменной.

Сделаем замену: пусть $t = 3x-4$.

Найдем дифференциал $dt$: $dt = (3x-4)'dx = 3dx$, откуда следует, что $dx = \frac{dt}{3}$.

Теперь необходимо выразить переменную $\text{x}$ и выражение $x+3$ через новую переменную $\text{t}$.

Из $t = 3x-4$ получаем $3x = t+4$, то есть $x = \frac{t+4}{3}$.

Тогда $x+3 = \frac{t+4}{3} + 3 = \frac{t+4+9}{3} = \frac{t+13}{3}$.

Подставим полученные выражения в исходный интеграл:

$\int \frac{x+3}{(3x-4)^{\frac{3}{2}}}dx = \int \frac{\frac{t+13}{3}}{t^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{dt}{3} = \frac{1}{9} \int \frac{t+13}{t^{\frac{3}{2}}}dt$

Разделим подынтегральное выражение на два слагаемых:

$\frac{1}{9} \int (\frac{t}{t^{\frac{3}{2}}} + \frac{13}{t^{\frac{3}{2}}})dt = \frac{1}{9} \int (t^{-\frac{1}{2}} + 13t^{-\frac{3}{2}})dt$

Теперь проинтегрируем, используя табличный интеграл $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$:

$\frac{1}{9} \left( \frac{t^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + 13 \cdot \frac{t^{-\frac{3}{2}+1}}{-\frac{3}{2}+1} \right) + C = \frac{1}{9} \left( \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + 13 \cdot \frac{t^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} \right) + C = \frac{1}{9} (2t^{\frac{1}{2}} - 26t^{-\frac{1}{2}}) + C$

Упростим выражение:

$\frac{2}{9} (t^{\frac{1}{2}} - 13t^{-\frac{1}{2}}) + C = \frac{2}{9} (\sqrt{t} - \frac{13}{\sqrt{t}}) + C = \frac{2}{9} \frac{t-13}{\sqrt{t}} + C$

Выполним обратную замену $t = 3x-4$:

$\frac{2}{9} \frac{(3x-4)-13}{\sqrt{3x-4}} + C = \frac{2(3x-17)}{9\sqrt{3x-4}} + C$.

Ответ: $\frac{2(3x-17)}{9\sqrt{3x-4}} + C$.

2)

Для нахождения интеграла $\int \frac{x^3}{\sqrt[3]{x^2+1}}dx$ применим метод замены переменной.

Сделаем замену: пусть $t = x^2+1$.

Найдем дифференциал $dt$: $dt = (x^2+1)'dx = 2x dx$, откуда следует, что $x dx = \frac{dt}{2}$.

Выразим $x^2$ через $\text{t}$: $x^2 = t-1$.

Преобразуем подынтегральное выражение, чтобы удобно было выполнить замену:

$\int \frac{x^3}{\sqrt[3]{x^2+1}}dx = \int \frac{x^2 \cdot x}{(x^2+1)^{\frac{1}{3}}}dx$

Подставим полученные выражения в интеграл:

$\int \frac{t-1}{t^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int \frac{t-1}{t^{\frac{1}{3}}}dt$

Разделим подынтегральное выражение на два слагаемых:

$\frac{1}{2} \int (\frac{t}{t^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{t^{\frac{1}{3}}})dt = \frac{1}{2} \int (t^{\frac{2}{3}} - t^{-\frac{1}{3}})dt$

Проинтегрируем:

$\frac{1}{2} \left( \frac{t^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} - \frac{t^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1} \right) + C = \frac{1}{2} \left( \frac{t^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} - \frac{t^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} \right) + C = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{5}t^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2}t^{\frac{2}{3}} \right) + C$

$= \frac{3}{10}t^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{4}t^{\frac{2}{3}} + C$

Для упрощения вынесем за скобки общий множитель $\frac{3}{20}t^{\frac{2}{3}}$:

$\frac{3}{20}t^{\frac{2}{3}}(2t-5) + C$

Выполним обратную замену $t = x^2+1$:

$\frac{3}{20}(x^2+1)^{\frac{2}{3}}(2(x^2+1)-5) + C = \frac{3}{20}(x^2+1)^{\frac{2}{3}}(2x^2+2-5) + C = \frac{3}{20}(2x^2-3)\sqrt[3]{(x^2+1)^2} + C$.

Ответ: $\frac{3}{20}(2x^2-3)\sqrt[3]{(x^2+1)^2} + C$.

3)

Для нахождения интеграла $\int \frac{x^2}{(x-1)^4}dx$ применим метод замены переменной.

Сделаем замену: пусть $t = x-1$.

Найдем дифференциал $dt$: $dt = (x-1)'dx = dx$.

Выразим $\text{x}$ через $\text{t}$: $x=t+1$.

Тогда числитель $x^2 = (t+1)^2 = t^2+2t+1$.

Подставим полученные выражения в интеграл:

$\int \frac{t^2+2t+1}{t^4}dt$

Разделим подынтегральное выражение на слагаемые:

$\int (\frac{t^2}{t^4} + \frac{2t}{t^4} + \frac{1}{t^4})dt = \int (t^{-2} + 2t^{-3} + t^{-4})dt$

Проинтегрируем каждое слагаемое:

$\frac{t^{-2+1}}{-2+1} + 2 \cdot \frac{t^{-3+1}}{-3+1} + \frac{t^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{t^{-1}}{-1} + 2 \cdot \frac{t^{-2}}{-2} + \frac{t^{-3}}{-3} + C$

$= -t^{-1} - t^{-2} - \frac{1}{3}t^{-3} + C = -\frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} - \frac{1}{3t^3} + C$

Выполним обратную замену $t = x-1$:

$-\frac{1}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2} - \frac{1}{3(x-1)^3} + C$

Для получения более компактного ответа приведем дроби к общему знаменателю $3(x-1)^3$:

$-\frac{3(x-1)^2}{3(x-1)^3} - \frac{3(x-1)}{3(x-1)^3} - \frac{1}{3(x-1)^3} + C = -\frac{3(x-1)^2 + 3(x-1) + 1}{3(x-1)^3} + C$

Раскроем скобки в числителе:

$-\frac{3(x^2-2x+1) + 3x-3 + 1}{3(x-1)^3} + C = -\frac{3x^2-6x+3+3x-2}{3(x-1)^3} + C = -\frac{3x^2-3x+1}{3(x-1)^3} + C$.

Ответ: $-\frac{3x^2-3x+1}{3(x-1)^3} + C$.