Номер 1.65, страница 36, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.65*. Проведите исследование функции $f(x)$ и постройте ее график:

$f(x)=x^2(x-2)^2$.

Проведем полное исследование функции $f(x) = x^2(x - 2)^2$.

1. Область определения функции

Функция $f(x) = x^2(x - 2)^2$ является многочленом (полиномом), поэтому она определена для всех действительных чисел $\text{x}$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность

Проверим, выполняется ли равенство $f(-x) = f(x)$ (четность) или $f(-x) = -f(x)$ (нечетность).

$f(-x) = (-x)^2(-x - 2)^2 = x^2(-(x + 2))^2 = x^2(x + 2)^2$.

Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

Ответ: Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат

С осью Oy:

Найдем значение функции при $x=0$: $f(0) = 0^2(0-2)^2 = 0$. Точка пересечения с осью Oy: $(0; 0)$.

С осью Ox:

Решим уравнение $f(x)=0$: $x^2(x-2)^2 = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 0$ (кратность 2) и $x_2 = 2$ (кратность 2). Точки пересечения с осью Ox: $(0; 0)$ и $(2; 0)$. Так как корни имеют четную кратность, в этих точках график касается оси Ox, не пересекая её.

Ответ: Пересечение с осью Oy в точке $(0; 0)$. Пересечение с осью Ox в точках $(0; 0)$ и $(2; 0)$.

4. Асимптоты

Вертикальные асимптоты:

Так как функция определена на всей числовой оси, вертикальных асимптот нет.

Наклонные (и горизонтальные) асимптоты:

Ищем асимптоту вида $y = kx + b$, где $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$ и $b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx)$.

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2(x - 2)^2}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} x(x - 2)^2 = \infty$.

Поскольку предел $\text{k}$ не является конечным числом, наклонных и горизонтальных асимптот нет.

Ответ: Асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума

Для удобства дифференцирования раскроем скобки: $f(x) = x^2(x^2 - 4x + 4) = x^4 - 4x^3 + 4x^2$.

Найдем первую производную функции:

$f'(x) = (x^4 - 4x^3 + 4x^2)' = 4x^3 - 12x^2 + 8x$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$4x^3 - 12x^2 + 8x = 0$

$4x(x^2 - 3x + 2) = 0$

$4x(x - 1)(x - 2) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = 2$.

Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения:

• Интервал $(-\infty; 0)$: $f'(-1) = 4(-1)((-1)^2 - 3(-1) + 2) = -4(1 + 3 + 2) = -24 < 0$. Функция убывает.
• Интервал $(0; 1)$: $f'(0.5) = 4(0.5)((0.5)^2 - 3(0.5) + 2) = 2(0.25 - 1.5 + 2) = 2(0.75) = 1.5 > 0$. Функция возрастает.
• Интервал $(1; 2)$: $f'(1.5) = 4(1.5)((1.5)^2 - 3(1.5) + 2) = 6(2.25 - 4.5 + 2) = 6(-0.25) = -1.5 < 0$. Функция убывает.
• Интервал $(2; +\infty)$: $f'(3) = 4(3)(3^2 - 3(3) + 2) = 12(9 - 9 + 2) = 24 > 0$. Функция возрастает.

В точке $x=0$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума. $f(0) = 0$.

В точке $x=1$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка локального максимума. $f(1) = 1^2(1 - 2)^2 = 1$.

В точке $x=2$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума. $f(2) = 2^2(2 - 2)^2 = 0$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(0; 1)$ и $(2; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(1; 2)$. Точка локального максимума: $(1; 1)$. Точки локального минимума: $(0; 0)$ и $(2; 0)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную функции: $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x$.

$f''(x) = (4x^3 - 12x^2 + 8x)' = 12x^2 - 24x + 8$.

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю:

$12x^2 - 24x + 8 = 0$

$3x^2 - 6x + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 36 - 24 = 12$.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Получаем две точки: $x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.42$ и $x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 1.58$.

Исследуем знак второй производной на интервалах. График $f''(x)$ — парабола с ветвями вверх.

• Интервал $(-\infty; 1 - \frac{\sqrt{3}}{3})$: $f''(x) > 0$. График функции вогнутый (выпуклый вниз).
• Интервал $(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}; 1 + \frac{\sqrt{3}}{3})$: $f''(x) < 0$. График функции выпуклый (выпуклый вверх).
• Интервал $(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$: $f''(x) > 0$. График функции вогнутый (выпуклый вниз).

Так как в точках $x_1$ и $x_2$ вторая производная меняет знак, это абсциссы точек перегиба. Найдем ординаты этих точек. Удобно использовать вид $f(x) = (x^2-2x)^2$. Для $x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$, имеем $x-1 = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

$f(x) = ((x-1)^2 - 1)^2 = ((\pm \frac{\sqrt{3}}{3})^2 - 1)^2 = (\frac{3}{9} - 1)^2 = (\frac{1}{3} - 1)^2 = (-\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$.

Точки перегиба: $(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{4}{9})$ и $(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{4}{9})$.

Ответ: График функции вогнутый на $(-\infty; 1 - \frac{\sqrt{3}}{3})$ и $(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$, выпуклый на $(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}; 1 + \frac{\sqrt{3}}{3})$. Точки перегиба: $(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{4}{9})$ и $(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{4}{9})$.

7. Построение графика

На основе проведенного исследования, отметим ключевые точки и учтем поведение функции:

• Точки минимума: $(0; 0)$ и $(2; 0)$.
• Точка максимума: $(1; 1)$.
• Точки перегиба: $(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{4}{9}) \approx (0.42; 0.44)$ и $(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{4}{9}) \approx (1.58; 0.44)$.
• Функция неотрицательна: $f(x) \ge 0$ для всех $\text{x}$.
• Поведение на бесконечности: $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = +\infty$.

Строим график функции, который имеет характерную W-образную форму.