Работа в группе, страница 42, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Решите задачу (3), применяя метод замены переменной: $x = 2\sin t$

Поскольку сама задача (3) не предоставлена, но указан метод решения — замена переменной $x=2\sin(t)$ — можно сделать вывод, что необходимо решить задачу, в которой такая замена является целесообразной. Чаще всего данная замена используется для вычисления интегралов, содержащих выражение $\sqrt{4-x^2}$. Предположим, что задача (3) заключается в нахождении неопределенного интеграла $\int \sqrt{4-x^2} \,dx$.

Произведем замену переменной: $x = 2\sin(t)$. Для того чтобы замена была взаимно-однозначной, выберем $t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Найдем дифференциал $dx$: $dx = (2\sin(t))' dt = 2\cos(t) dt$.

Преобразуем подынтегральное выражение, подставив в него $x = 2\sin(t)$:

$\sqrt{4-x^2} = \sqrt{4 - (2\sin(t))^2} = \sqrt{4 - 4\sin^2(t)} = \sqrt{4(1-\sin^2(t))}$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(t) + \cos^2(t) = 1$, получаем:

$\sqrt{4\cos^2(t)} = 2|\cos(t)|$.

Так как $t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, на этом отрезке $\cos(t) \ge 0$, следовательно $|\cos(t)| = \cos(t)$. Таким образом, $\sqrt{4-x^2} = 2\cos(t)$.

Подставим полученные выражения в исходный интеграл:

$\int \sqrt{4-x^2} \,dx = \int (2\cos(t)) \cdot (2\cos(t) dt) = \int 4\cos^2(t) dt$.

Для вычисления интеграла от квадрата косинуса применим формулу понижения степени: $\cos^2(t) = \frac{1+\cos(2t)}{2}$.

$\int 4 \left(\frac{1+\cos(2t)}{2}\right) dt = \int 2(1+\cos(2t)) dt = \int (2 + 2\cos(2t)) dt$.

Вычисляем интеграл:

$\int 2 dt + \int 2\cos(2t) dt = 2t + 2\cdot\frac{\sin(2t)}{2} + C = 2t + \sin(2t) + C$, где $\text{C}$ — произвольная постоянная.

Теперь выполним обратную замену, чтобы вернуться к переменной $\text{x}$.

Из равенства $x = 2\sin(t)$ следует, что $\sin(t) = \frac{x}{2}$, откуда $t = \arcsin\left(\frac{x}{2}\right)$.

Для нахождения выражения $\sin(2t)$ используем формулу двойного угла $\sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t)$.

Значение $\sin(t) = \frac{x}{2}$ нам известно. Значение $\cos(t)$ найдем из тождества $\cos^2(t) = 1 - \sin^2(t)$:

$\cos(t) = \sqrt{1-\sin^2(t)} = \sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{4-x^2}{4}} = \frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$. (Мы берем положительный корень, так как $t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$).

Тогда $\sin(2t) = 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{\sqrt{4-x^2}}{2} = \frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}$.

Подставляем найденные выражения для $\text{t}$ и $\sin(2t)$ в результат интегрирования:

$2t + \sin(2t) + C = 2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{x\sqrt{4-x^2}}{2} + C$.

Ответ: $2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{x\sqrt{4-x^2}}{2} + C$.