Номер 1.70, страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.70. Выразите с помощью определенного интеграла площади кри- волинейных трапеций, изображенных на рисунках 1.23, 1.24, и вычислите их.

Рис. 1.24

Рис. 1.23

Площадь заштрихованной криволинейной трапеции ограничена графиком функции $y = \sin x$, осью абсцисс и вертикальными прямыми, проходящими через точки $x=0$ и $x=\frac{3\pi}{4}$. Поскольку на данном отрезке функция $y=\sin x$ неотрицательна, площадь $\text{S}$ можно найти с помощью определенного интеграла:

$S = \int_{0}^{\frac{3\pi}{4}} \sin x \,dx$

Для вычисления интеграла используем формулу Ньютона-Лейбница. Первообразная для функции $\sin x$ есть $-\cos x$.

$S = [-\cos x]_{0}^{\frac{3\pi}{4}} = -\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) - (-\cos(0))$

Зная, что $\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos(0) = 1$, получаем:

$S = -\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - (-1) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$

Ответ: $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Рис. 1.24

Площадь заштрихованной криволинейной трапеции ограничена графиком функции $y = \sqrt{x}$, осью абсцисс и вертикальными прямыми $x=1$ и $x=4$. Функция $y = \sqrt{x}$ неотрицательна на отрезке $[1, 4]$, поэтому ее площадь $\text{S}$ вычисляется как определенный интеграл:

$S = \int_{1}^{4} \sqrt{x} \,dx$

Представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$ и найдем первообразную, которая равна $\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$. Теперь вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_{1}^{4} = \frac{2}{3} \cdot 4^{3/2} - \frac{2}{3} \cdot 1^{3/2}$

Вычислим значения:

$4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$

$1^{3/2} = 1$

Подставим их обратно в выражение для площади:

$S = \frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$

Ответ: $\frac{14}{3}$