Номер 1.74, страница 46, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.74. Определите функции, графики которых ограничивают криволинейные трапеции, изображенные на рисунках 1.28, 1.29, и вычислите площади этих трапеций.

Рис. 1.28

Рис. 1.29

Рис. 1.28

Заштрихованная фигура является криволинейной трапецией, ограниченной осью абсцисс $y=0$, осью ординат $x=0$ и графиком линейной функции. Эта функция представляет собой прямую, проходящую через точки $(0, 1)$ и $(1, 0)$. Найдем уравнение этой прямой $y = kx + b$.

Поскольку прямая проходит через точку $(0, 1)$, то свободный член $b=1$. Подставив координаты второй точки $(1, 0)$ в уравнение $y = kx + 1$, получим $0 = k \cdot 1 + 1$, откуда находим коэффициент наклона $k = -1$.

Таким образом, функция, ограничивающая трапецию сверху, имеет вид $y = 1 - x$. Фигура ограничена прямыми $x=0$, $x=1$ и осью $Ox$.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} f(x)dx$. В данном случае $f(x) = 1-x$, $a=0$, $b=1$.

$S = \int_{0}^{1} (1-x) dx = \left[x - \frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} = (1 - \frac{1^2}{2}) - (0 - \frac{0^2}{2}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Заметим, что фигура также является прямоугольным треугольником с катетами длиной 1, и его площадь равна $S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: функция $y = 1 - x$, площадь $S = \frac{1}{2}$.

Рис. 1.29

Заштрихованная фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную осью абсцисс $y=0$, прямыми $x=0$, $x=\frac{\pi}{2}$ и графиком некоторой функции.

Из графика видно, что функция проходит через начало координат $(0, 0)$ и в точке $x=\frac{\pi}{2}$ принимает значение $\text{1}$. Такими свойствами на отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ обладает функция синус. Проверим: $\sin(0)=0$, $\sin(\frac{\pi}{2})=1$. Форма кривой также соответствует синусоиде.

Следовательно, функция, ограничивающая трапецию сверху, — это $y = \sin(x)$.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется как определенный интеграл от этой функции в пределах от $a=0$ до $b=\frac{\pi}{2}$.

$S = \int_{0}^{\pi/2} \sin(x) dx = \left[-\cos(x)\right]_{0}^{\pi/2} = (-\cos(\frac{\pi}{2})) - (-\cos(0)) = (-0) - (-1) = 1$.

Ответ: функция $y = \sin(x)$, площадь $S = 1$.