Номер 1.78, страница 47, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.78. Найдите площади фигур, ограниченных следующими кривыми, сделайте соответствующий чертеж:

1) $y=2-x, x=0, y=0$;

2) $y=2x-x^2, y=0$;

3) $y=\sin x, x=0, x=\frac{\pi}{2}, y=0$;

4) $y=x-1, y=0, x=2, x=4$.

1) y = 2 - x, x = 0, y = 0;

Фигура ограничена прямой $y = 2 - x$, осью ординат $x = 0$ и осью абсцисс $y = 0$.

Чертеж: Фигура представляет собой прямоугольный треугольник, расположенный в первой координатной четверти. Вершины треугольника находятся в точках (0, 0), (2, 0) и (0, 2). Прямая $y = 2 - x$ является гипотенузой, а отрезки осей координат от 0 до 2 — катетами.

Площадь фигуры (криволинейной трапеции) вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} f(x) dx$. В данном случае $f(x) = 2 - x$, а пределы интегрирования по оси Ox — от $a = 0$ до точки пересечения прямой с осью Ox. Найдем эту точку: $y = 0 \Rightarrow 2 - x = 0 \Rightarrow x = 2$. Таким образом, $b = 2$.

Вычисляем интеграл: $S = \int_{0}^{2} (2 - x) dx = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \left( 2 \cdot 2 - \frac{2^2}{2} \right) - \left( 2 \cdot 0 - \frac{0^2}{2} \right) = (4 - 2) - 0 = 2$.

Проверка: Площадь прямоугольного треугольника с катетами 2 и 2 равна $S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$.

Ответ: $S = 2$.

2) y = 2x - x², y = 0;

Фигура ограничена параболой $y = 2x - x^2$ и осью абсцисс $y = 0$.

Чертеж: Кривая $y = 2x - x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $x = -\frac{2}{2(-1)} = 1$, $y = 2(1) - 1^2 = 1$, то есть в точке (1, 1). Фигура представляет собой сегмент, ограниченный параболой сверху и осью Ox снизу.

Для нахождения пределов интегрирования найдем точки пересечения параболы с осью $y = 0$: $2x - x^2 = 0 \Rightarrow x(2 - x) = 0$. Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Это и будут пределы интегрирования $a=0$ и $b=2$.

Вычисляем площадь с помощью интеграла: $S = \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx = \left[ 2\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - (0 - 0) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $S = \frac{4}{3}$.

3) y = sinx, x = 0, x = π/2, y = 0;

Фигура ограничена графиком функции $y = \sin x$, осью ординат $x=0$, прямой $x = \frac{\pi}{2}$ и осью абсцисс $y = 0$.

Чертеж: Фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху одной аркой синусоиды на промежутке $[0, \frac{\pi}{2}]$, снизу — осью Ox, слева — осью Oy, справа — прямой $x = \frac{\pi}{2}$. На этом интервале функция $y = \sin x$ неотрицательна.

Пределы интегрирования заданы в условии: от $a=0$ до $b=\frac{\pi}{2}$.

Вычисляем площадь: $S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx = \left[ -\cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) - (-\cos(0)) = -0 - (-1) = 1$.

Ответ: $S = 1$.

4) y = x - 1, y = 0, x = 2, x = 4.

Фигура ограничена прямой $y = x - 1$, осью абсцисс $y = 0$ и вертикальными прямыми $x=2$ и $x=4$.

Чертеж: Фигура представляет собой прямоугольную трапецию. Основаниями трапеции являются отрезки вертикальных прямых $x=2$ и $x=4$ от оси Ox до прямой $y=x-1$. Высота трапеции лежит на оси Ox и равна $4-2=2$.

Пределы интегрирования заданы в условии: от $a=2$ до $b=4$. На интервале $[2, 4]$ функция $y = x - 1$ положительна.

Вычисляем площадь с помощью интеграла: $S = \int_{2}^{4} (x - 1) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - x \right]_{2}^{4} = \left(\frac{4^2}{2} - 4\right) - \left(\frac{2^2}{2} - 2\right) = \left(\frac{16}{2} - 4\right) - \left(\frac{4}{2} - 2\right) = (8 - 4) - (2 - 2) = 4 - 0 = 4$.

Проверка: Длины оснований трапеции равны значениям функции в точках $x=2$ и $x=4$: $y(2) = 2-1=1$ и $y(4) = 4-1=3$. Высота трапеции $h=4-2=2$. Площадь трапеции $S = \frac{1+3}{2} \cdot 2 = 4$.

Ответ: $S = 4$.