Номер 1.76, страница 46, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.76. Найдите площади фигур, данных в задаче 1.73.

1.73. Изобразите криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции $y = f(x)$, прямыми $x = a$, $x = b$ и осью абсцисс:

1) $y = x^2, a = 1, b = 3;$

2) $y = x^3, a = 0, b = 1;$

3) $y = 4x - x^2, a = 2, b = 4;$

4) $y = \frac{1}{x^2}, a = -2, b = -1.$

1)

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле определенного интеграла $S = \int_{a}^{b} f(x) dx$ при условии, что $f(x) \ge 0$ на отрезке $[a, b]$.

В данном случае $f(x) = x^2$, $a=1$, $b=3$. Функция $y=x^2$ неотрицательна на всей числовой оси, в том числе и на отрезке $[1, 3]$.

Вычисляем площадь:

$S = \int_{1}^{3} x^2 dx = \left. \frac{x^{2+1}}{2+1} \right|_{1}^{3} = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{1}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3} = 8 \frac{2}{3}$.

Ответ: $8 \frac{2}{3}$

2)

Здесь $f(x) = x^3$, $a=0$, $b=1$. Функция $y=x^3$ неотрицательна на отрезке $[0, 1]$.

Вычисляем площадь:

$S = \int_{0}^{1} x^3 dx = \left. \frac{x^{3+1}}{3+1} \right|_{0}^{1} = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{0}^{1} = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

3)

Здесь $f(x) = 4x - x^2$, $a=2$, $b=4$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем точки пересечения с осью абсцисс: $4x - x^2 = 0 \Rightarrow x(4-x)=0 \Rightarrow x_1=0, x_2=4$. На интервале $(0, 4)$ функция положительна, следовательно, на отрезке $[2, 4]$ функция $f(x) \ge 0$.

Вычисляем площадь:

$S = \int_{2}^{4} (4x - x^2) dx = \left. \left( 4\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{2}^{4} = \left. \left( 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{2}^{4}$

$= \left( 2 \cdot 4^2 - \frac{4^3}{3} \right) - \left( 2 \cdot 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) = \left( 2 \cdot 16 - \frac{64}{3} \right) - \left( 2 \cdot 4 - \frac{8}{3} \right)$

$= \left( 32 - \frac{64}{3} \right) - \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = 32 - \frac{64}{3} - 8 + \frac{8}{3} = 24 - \frac{56}{3} = \frac{72 - 56}{3} = \frac{16}{3} = 5 \frac{1}{3}$.

Ответ: $5 \frac{1}{3}$

4)

Здесь $f(x) = \frac{1}{x^2}$, $a=-2$, $b=-1$. Функция $y = \frac{1}{x^2}$ положительна для всех $x \neq 0$, в том числе и на отрезке $[-2, -1]$.

Вычисляем площадь:

$S = \int_{-2}^{-1} \frac{1}{x^2} dx = \int_{-2}^{-1} x^{-2} dx = \left. \frac{x^{-2+1}}{-2+1} \right|_{-2}^{-1} = \left. \frac{x^{-1}}{-1} \right|_{-2}^{-1} = \left. -\frac{1}{x} \right|_{-2}^{-1}$

$= \left( -\frac{1}{-1} \right) - \left( -\frac{1}{-2} \right) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$