Номер 1.72, страница 46, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.72. Изобразите фигуру, ограниченную графиком функции $y = f(x)$, прямыми $x = a$, $x = b$ и осью абсцисс. Результат проверьте с помощью графического онлайн-калькулятора:

1) $y = x$, $a = 0$, $b = 2$;

2) $y = x^2$, $a = 0$, $b = 2$;

3) $y = \cos x$, $a = 0$, $b = \frac{\pi}{2}$;

4) $y = 1 - x^2$, $a = -1$, $b = 1$.

1) Задана функция $y = x$ и границы $x = 0$, $x = 2$ и ось абсцисс ($y = 0$).

График функции $y = x$ — это прямая, проходящая через начало координат. Фигура ограничена этой прямой сверху, осью абсцисс ($y=0$) снизу, осью ординат ($x=0$) слева и вертикальной прямой $x=2$ справа. В результате получается фигура, представляющая собой прямоугольный треугольник. Вершины этого треугольника находятся в точках пересечения ограничивающих линий: $(0, 0)$, $(2, 0)$ и $(2, 2)$. Катеты треугольника лежат на оси абсцисс (длиной 2) и на прямой $x=2$ (длиной 2), а гипотенуза является частью графика $y=x$.

Ответ: Фигура представляет собой прямоугольный треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(2, 0)$ и $(2, 2)$.

2) Задана функция $y = x^2$ и границы $x = 0$, $x = 2$ и ось абсцисс.

График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх. Фигура ограничена дугой этой параболы сверху, осью абсцисс ($y=0$) снизу, осью ординат ($x=0$) слева и вертикальной прямой $x=2$ справа. Такая фигура называется криволинейной трапецией. Нижняя граница — отрезок оси $\text{x}$ от $\text{0}$ до $\text{2}$. Верхняя граница — дуга параболы $y = x^2$ от точки $(0, 0)$ до точки $(2, 4)$, так как при $x=2$ значение функции $y = 2^2 = 4$. Левая граница — ось ординат, а правая — отрезок вертикальной прямой от $(2,0)$ до $(2,4)$.

Ответ: Фигура является криволинейной трапецией, ограниченной осью абсцисс, прямой $x=2$ и графиком функции $y=x^2$ на отрезке $[0, 2]$.

3) Задана функция $y = \cos x$ и границы $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$ и ось абсцисс.

График функции $y = \cos x$ — это косинусоида. На заданном отрезке $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ функция неотрицательна. Фигура ограничена графиком функции $y = \cos x$ сверху, осью абсцисс ($y=0$) снизу, осью ординат ($x=0$) слева и прямой $x = \frac{\pi}{2}$ справа. Это криволинейная трапеция. Верхняя граница — это дуга косинусоиды от точки $(0, 1)$, так как $\cos(0)=1$, до точки $(\frac{\pi}{2}, 0)$, так как $\cos(\frac{\pi}{2})=0$. Нижняя граница — отрезок оси $\text{x}$ от $\text{0}$ до $\frac{\pi}{2}$. Левая граница — отрезок оси $\text{y}$ от $\text{0}$ до $\text{1}$. Правая граница совпадает с точкой $(\frac{\pi}{2}, 0)$ на оси абсцисс.

Ответ: Фигура является криволинейной трапецией, ограниченной осями координат и графиком функции $y = \cos x$ на отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$.

4) Задана функция $y = 1 - x^2$ и границы $x = -1$, $x = 1$ и ось абсцисс.

График функции $y = 1 - x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 1)$, ветви которой направлены вниз. Эта парабола пересекает ось абсцисс в точках, где $1 - x^2 = 0$, то есть при $x = -1$ и $x = 1$. Таким образом, заданные прямые $x = -1$ и $x = 1$ проходят как раз через точки пересечения параболы с осью $\text{x}$. Фигура ограничена сверху дугой параболы $y = 1 - x^2$, а снизу — отрезком оси абсцисс от $-1$ до $\text{1}$. Такая фигура называется параболическим сегментом.

Ответ: Фигура является параболическим сегментом, ограниченным сверху графиком функции $y = 1 - x^2$, а снизу — осью абсцисс на отрезке $[-1, 1]$.