Работа в группе, страница 43, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

С помощью формулы Ньютона-Лейбница докажите свойства определенного интеграла и их следствия.

Основным инструментом для доказательства будет формула Ньютона–Лейбница. Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и $F(x)$ — любая ее первообразная на этом отрезке (то есть $F'(x) = f(x)$), то справедлива формула: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$. Ниже приведены доказательства основных свойств определенного интеграла и их следствий с помощью этой формулы.

1. Интеграл от суммы функций

Докажем свойство: $\int_a^b [f(x) + g(x)]dx = \int_a^b f(x)dx + \int_a^b g(x)dx$.

Пусть $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, а $G(x)$ — первообразная для $g(x)$. По правилу дифференцирования суммы, первообразной для функции $f(x) + g(x)$ является функция $F(x) + G(x)$, так как $(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)$.

Применим формулу Ньютона–Лейбница к левой части равенства:

$\int_a^b [f(x) + g(x)]dx = (F(b) + G(b)) - (F(a) + G(a))$.

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

$(F(b) + G(b)) - (F(a) + G(a)) = F(b) - F(a) + G(b) - G(a) = (F(b) - F(a)) + (G(b) - G(a))$.

По определению, $(F(b) - F(a)) = \int_a^b f(x)dx$ и $(G(b) - G(a)) = \int_a^b g(x)dx$.

Таким образом, мы получили правую часть исходного равенства. Свойство доказано.

Ответ: $\int_a^b [f(x) + g(x)]dx = \int_a^b f(x)dx + \int_a^b g(x)dx$.

2. Вынесение постоянного множителя за знак интеграла

Докажем свойство: $\int_a^b k \cdot f(x)dx = k \int_a^b f(x)dx$, где $\text{k}$ — постоянная.

Пусть $F(x)$ — первообразная для $f(x)$. По правилу дифференцирования произведения функции на константу, первообразной для функции $k \cdot f(x)$ является функция $k \cdot F(x)$, так как $(k \cdot F(x))' = k \cdot F'(x) = k \cdot f(x)$.

Применим формулу Ньютона–Лейбница к левой части:

$\int_a^b k \cdot f(x)dx = k \cdot F(b) - k \cdot F(a)$.

Вынесем общий множитель $\text{k}$ за скобки:

$k \cdot F(b) - k \cdot F(a) = k \cdot (F(b) - F(a))$.

Так как $F(b) - F(a) = \int_a^b f(x)dx$, получаем: $k \int_a^b f(x)dx$. Свойство доказано.

Ответ: $\int_a^b k \cdot f(x)dx = k \int_a^b f(x)dx$.

3. Свойство аддитивности

Докажем, что для любой точки $\text{c}$ из области определения функции $f(x)$ справедливо равенство $\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx$.

Пусть $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Преобразуем правую часть равенства, используя формулу Ньютона–Лейбница для каждого из интегралов:

$\int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx = (F(c) - F(a)) + (F(b) - F(c))$.

Раскроем скобки и упростим выражение:

$F(c) - F(a) + F(b) - F(c) = F(b) - F(a)$.

Согласно формуле Ньютона–Лейбница, полученное выражение $F(b) - F(a)$ равно $\int_a^b f(x)dx$, что является левой частью доказываемого равенства. Свойство доказано.

Ответ: $\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx$.

4. Следствие 1: Интеграл с равными пределами интегрирования

Докажем, что $\int_a^a f(x)dx = 0$.

Пусть $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Применим формулу Ньютона–Лейбница, где верхний и нижний пределы интегрирования равны $\text{a}$:

$\int_a^a f(x)dx = F(a) - F(a) = 0$. Следствие доказано.

Ответ: $\int_a^a f(x)dx = 0$.

5. Следствие 2: Перестановка пределов интегрирования

Докажем, что $\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx$.

Пусть $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Применим формулу Ньютона–Лейбница к левой части равенства:

$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$.

Теперь преобразуем правую часть:

$-\int_b^a f(x)dx = -(F(a) - F(b))$.

Раскроем скобки:

$-(F(a) - F(b)) = -F(a) + F(b) = F(b) - F(a)$.

Левая и правая части равны, следовательно, равенство верно. Следствие доказано.

Ответ: $\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx$.