Номер 1.63, страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.63. Найдите интеграл, дважды применив формулу понижения степени:

1) $\int \cos^4 x dx$;

2) $\int \sin^4 x dx$.

1) $\int \cos^4x dx$;

Для нахождения данного интеграла необходимо дважды применить формулу понижения степени для косинуса: $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

Сначала представим подынтегральную функцию $\cos^4x$ как $(\cos^2x)^2$ и применим формулу понижения степени в первый раз:

$\cos^4x = (\cos^2x)^2 = \left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right)^2 = \frac{1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4}$.

Теперь в полученном выражении есть член $\cos^2(2x)$. Применим к нему формулу понижения степени во второй раз, где $\alpha = 2x$:

$\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(2 \cdot 2x)}{2} = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$.

Подставим это выражение обратно в разложение для $\cos^4x$:

$\cos^4x = \frac{1}{4}\left(1 + 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2}\right) = \frac{1}{4}\left(1 + 2\cos(2x) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(4x)\right)$.

Упростим выражение:

$\cos^4x = \frac{1}{4}\left(\frac{3}{2} + 2\cos(2x) + \frac{1}{2}\cos(4x)\right) = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)$.

Теперь мы можем найти интеграл от этого выражения:

$\int \cos^4x dx = \int \left(\frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)\right) dx$.

Используя свойство линейности интеграла, разобьем его на три интеграла:

$\int \frac{3}{8} dx + \int \frac{1}{2}\cos(2x) dx + \int \frac{1}{8}\cos(4x) dx = \frac{3}{8}x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(2x)}{2} + \frac{1}{8} \cdot \frac{\sin(4x)}{4} + C$.

После упрощения получаем:

$\frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) + C$.

Ответ: $\frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) + C$

2) $\int \sin^4x dx$.

Для нахождения этого интеграла воспользуемся формулой понижения степени для синуса: $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

Представим подынтегральную функцию $\sin^4x$ как $(\sin^2x)^2$ и применим формулу в первый раз:

$\sin^4x = (\sin^2x)^2 = \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4}$.

Теперь, как и в предыдущем пункте, применим формулу понижения степени для $\cos^2(2x)$:

$\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$.

Подставим это выражение в разложение для $\sin^4x$:

$\sin^4x = \frac{1}{4}\left(1 - 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2}\right) = \frac{1}{4}\left(1 - 2\cos(2x) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(4x)\right)$.

Упростим выражение:

$\sin^4x = \frac{1}{4}\left(\frac{3}{2} - 2\cos(2x) + \frac{1}{2}\cos(4x)\right) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)$.

Теперь найдем интеграл от полученного выражения:

$\int \sin^4x dx = \int \left(\frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)\right) dx$.

Интегрируем почленно:

$\int \frac{3}{8} dx - \int \frac{1}{2}\cos(2x) dx + \int \frac{1}{8}\cos(4x) dx = \frac{3}{8}x - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(2x)}{2} + \frac{1}{8} \cdot \frac{\sin(4x)}{4} + C$.

После упрощения получаем окончательный ответ:

$\frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) + C$.

Ответ: $\frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) + C$