Номер 1.61, страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.61*. Найдите интеграл с помощью формулы интегрирования по частям:

1) $\int x^2 \sin x \, dx$;

2) $\int x^3 \cos 3x \, dx$;

3) $\int x \cdot \cos^2 x \, dx$;

4) $\int x \cdot \sin^2 x \, dx$.

1)

Для вычисления интеграла $\int x^2\sin x dx$ воспользуемся формулой интегрирования по частям $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. В данном случае удобно выбрать в качестве $\text{u}$ степенную функцию, а в качестве $dv$ — тригонометрическую. Потребуется двукратное применение формулы.

Шаг 1:

Пусть $u = x^2$ и $dv = \sin x dx$.

Тогда $du = (x^2)' dx = 2x dx$ и $v = \int \sin x dx = -\cos x$.

Применяем формулу:

$\int x^2\sin x dx = x^2(-\cos x) - \int (-\cos x)(2x dx) = -x^2\cos x + 2\int x\cos x dx$.

Шаг 2:

Теперь необходимо найти интеграл $\int x\cos x dx$, снова используя интегрирование по частям.

Пусть $u_1 = x$ и $dv_1 = \cos x dx$.

Тогда $du_1 = dx$ и $v_1 = \int \cos x dx = \sin x$.

$\int x\cos x dx = x\sin x - \int \sin x dx = x\sin x - (-\cos x) = x\sin x + \cos x$.

Шаг 3:

Подставляем результат второго шага в выражение, полученное на первом шаге:

$\int x^2\sin x dx = -x^2\cos x + 2(x\sin x + \cos x) + C$.

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$-x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C = (2-x^2)\cos x + 2x\sin x + C$.

Ответ: $(2-x^2)\cos x + 2x\sin x + C$.

2)

Для вычисления интеграла $\int x^3\cos(3x) dx$ потребуется трехкратное применение формулы интегрирования по частям $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Шаг 1:

Пусть $u = x^3$, $dv = \cos(3x) dx$.

Тогда $du = 3x^2 dx$, $v = \int \cos(3x) dx = \frac{1}{3}\sin(3x)$.

$\int x^3\cos(3x) dx = x^3 \cdot \frac{1}{3}\sin(3x) - \int \frac{1}{3}\sin(3x) \cdot 3x^2 dx = \frac{x^3}{3}\sin(3x) - \int x^2\sin(3x) dx$.

Шаг 2:

Вычисляем $\int x^2\sin(3x) dx$. Пусть $u_1 = x^2$, $dv_1 = \sin(3x) dx$.

Тогда $du_1 = 2x dx$, $v_1 = \int \sin(3x) dx = -\frac{1}{3}\cos(3x)$.

$\int x^2\sin(3x) dx = x^2(-\frac{1}{3}\cos(3x)) - \int (-\frac{1}{3}\cos(3x)) \cdot 2x dx = -\frac{x^2}{3}\cos(3x) + \frac{2}{3}\int x\cos(3x) dx$.

Шаг 3:

Вычисляем $\int x\cos(3x) dx$. Пусть $u_2 = x$, $dv_2 = \cos(3x) dx$.

Тогда $du_2 = dx$, $v_2 = \int \cos(3x) dx = \frac{1}{3}\sin(3x)$.

$\int x\cos(3x) dx = x \cdot \frac{1}{3}\sin(3x) - \int \frac{1}{3}\sin(3x) dx = \frac{x}{3}\sin(3x) - \frac{1}{3}(-\frac{1}{3}\cos(3x)) = \frac{x}{3}\sin(3x) + \frac{1}{9}\cos(3x)$.

Шаг 4:

Теперь последовательно подставляем полученные результаты обратно.

Подставляем результат шага 3 в выражение из шага 2:

$\int x^2\sin(3x) dx = -\frac{x^2}{3}\cos(3x) + \frac{2}{3}\left(\frac{x}{3}\sin(3x) + \frac{1}{9}\cos(3x)\right) = -\frac{x^2}{3}\cos(3x) + \frac{2x}{9}\sin(3x) + \frac{2}{27}\cos(3x)$.

Подставляем это в выражение из шага 1:

$\int x^3\cos(3x) dx = \frac{x^3}{3}\sin(3x) - \left(-\frac{x^2}{3}\cos(3x) + \frac{2x}{9}\sin(3x) + \frac{2}{27}\cos(3x)\right) + C$

$= \frac{x^3}{3}\sin(3x) + \frac{x^2}{3}\cos(3x) - \frac{2x}{9}\sin(3x) - \frac{2}{27}\cos(3x) + C$.

Сгруппируем слагаемые при $\sin(3x)$ и $\cos(3x)$:

$= \left(\frac{x^3}{3} - \frac{2x}{9}\right)\sin(3x) + \left(\frac{x^2}{3} - \frac{2}{27}\right)\cos(3x) + C$

$= \frac{9x^3-6x}{27}\sin(3x) + \frac{9x^2-2}{27}\cos(3x) + C$.

Ответ: $\frac{9x^3-6x}{27}\sin(3x) + \frac{9x^2-2}{27}\cos(3x) + C$.

3)

Для вычисления интеграла $\int x\cos^2 x dx$ можно сначала использовать формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$, а затем применить интегрирование по частям. Однако, можно применить интегрирование по частям и напрямую.

Пусть $u=x$ и $dv = \cos^2 x dx$.

Тогда $du = dx$. Для нахождения $\text{v}$ проинтегрируем $dv$:

$v = \int \cos^2 x dx = \int \frac{1+\cos(2x)}{2} dx = \frac{1}{2}\int(1+\cos(2x))dx = \frac{1}{2}\left(x + \frac{1}{2}\sin(2x)\right)$.

Теперь применяем формулу интегрирования по частям $\int u \, dv = uv - \int v \, du$:

$\int x\cos^2 x dx = x \cdot \frac{1}{2}\left(x + \frac{1}{2}\sin(2x)\right) - \int \frac{1}{2}\left(x + \frac{1}{2}\sin(2x)\right) dx$

$= \frac{x^2}{2} + \frac{x}{4}\sin(2x) - \frac{1}{2}\int x dx - \frac{1}{4}\int \sin(2x) dx$

$= \frac{x^2}{2} + \frac{x}{4}\sin(2x) - \frac{1}{2}\frac{x^2}{2} - \frac{1}{4}\left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) + C$

$= \frac{x^2}{2} + \frac{x}{4}\sin(2x) - \frac{x^2}{4} + \frac{1}{8}\cos(2x) + C$

$= \frac{x^2}{4} + \frac{x}{4}\sin(2x) + \frac{1}{8}\cos(2x) + C$.

Ответ: $\frac{x^2}{4} + \frac{x}{4}\sin(2x) + \frac{1}{8}\cos(2x) + C$.

4)

Для вычисления интеграла $\int x\sin^2 x dx$ поступим аналогично предыдущему пункту. Применим интегрирование по частям.

Пусть $u=x$ и $dv = \sin^2 x dx$.

Тогда $du = dx$. Для нахождения $\text{v}$ проинтегрируем $dv$, используя формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$:

$v = \int \sin^2 x dx = \int \frac{1-\cos(2x)}{2} dx = \frac{1}{2}\int(1-\cos(2x))dx = \frac{1}{2}\left(x - \frac{1}{2}\sin(2x)\right)$.

Применяем формулу интегрирования по частям $\int u \, dv = uv - \int v \, du$:

$\int x\sin^2 x dx = x \cdot \frac{1}{2}\left(x - \frac{1}{2}\sin(2x)\right) - \int \frac{1}{2}\left(x - \frac{1}{2}\sin(2x)\right) dx$

$= \frac{x^2}{2} - \frac{x}{4}\sin(2x) - \frac{1}{2}\int x dx + \frac{1}{4}\int \sin(2x) dx$

$= \frac{x^2}{2} - \frac{x}{4}\sin(2x) - \frac{1}{2}\frac{x^2}{2} + \frac{1}{4}\left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) + C$

$= \frac{x^2}{2} - \frac{x}{4}\sin(2x) - \frac{x^2}{4} - \frac{1}{8}\cos(2x) + C$

$= \frac{x^2}{4} - \frac{x}{4}\sin(2x) - \frac{1}{8}\cos(2x) + C$.

Ответ: $\frac{x^2}{4} - \frac{x}{4}\sin(2x) - \frac{1}{8}\cos(2x) + C$.