Номер 1.71, страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.71. Вычислите площади криволинейных трапеций, изображенных на рисунках 1.25 -1.27, записав их с помощью определенного интеграла.

Рис. 1.25

Рис. 1.26

Рис. 1.27

Рис. 1.25

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = \frac{1}{x^2}$, осью абсцисс и прямыми $x = -2$ и $x = -1$, вычисляется с помощью определенного интеграла. Так как функция $y = \frac{1}{x^2}$ неотрицательна на промежутке $[-2, -1]$, ее площадь $\text{S}$ равна:

$S = \int_{-2}^{-1} \frac{1}{x^2} dx$

Для вычисления интеграла найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$. Первообразная $F(x)$ будет:

$F(x) = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$:

$S = \int_{-2}^{-1} \frac{1}{x^2} dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{-2}^{-1} = \left(-\frac{1}{-1}\right) - \left(-\frac{1}{-2}\right) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

Рис. 1.26

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = 4x - x^2$, осью абсцисс и прямыми $x = 0$ и $x = 3$, вычисляется с помощью определенного интеграла. Функция $y = 4x - x^2$ неотрицательна на промежутке $[0, 3]$, так как ее корни $x=0$ и $x=4$, а ветви параболы направлены вниз. Площадь $\text{S}$ равна:

$S = \int_{0}^{3} (4x - x^2) dx$

Найдем первообразную для функции $f(x) = 4x - x^2$:

$F(x) = 4\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = 2x^2 - \frac{x^3}{3}$

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \int_{0}^{3} (4x - x^2) dx = \left[2x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{3} = \left(2 \cdot 3^2 - \frac{3^3}{3}\right) - \left(2 \cdot 0^2 - \frac{0^3}{3}\right) = (2 \cdot 9 - 9) - 0 = 18 - 9 = 9$

Ответ: $\text{9}$

Рис. 1.27

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $f(x) = x^2$, осью абсцисс и прямыми $x = 1$ и $x = 2$, вычисляется с помощью определенного интеграла. Функция $f(x) = x^2$ неотрицательна на промежутке $[1, 2]$. Площадь $\text{S}$ равна:

$S = \int_{1}^{2} x^2 dx$

Найдем первообразную для функции $f(x) = x^2$:

$F(x) = \frac{x^3}{3}$

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \int_{1}^{2} x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Ответ: $\frac{7}{3}$