Номер 1.80, страница 47, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.80. С помощью формулы Ньютона-Лейбница вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции $f(x)$, снизу - заданным отрезком оси абсцисс:

1) $f(x) = x + 2$ и отрезок $[0; 4];$

2) $f(x) = 4 - x^2$ и отрезок $[-1; 2].$

1)

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции $f(x)$, снизу — осью абсцисс, и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница: $S = \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — одна из первообразных для функции $f(x)$.

В данном случае нам дана функция $f(x) = x + 2$ и отрезок $[0; 4]$. Таким образом, $a = 0$ и $b = 4$.

Сначала найдем первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = x + 2$. Используя правила интегрирования, получаем: $F(x) = \int (x + 2) dx = \frac{x^2}{2} + 2x$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница, подставив пределы интегрирования: $S = \int_{0}^{4} (x + 2) dx = \left. \left( \frac{x^2}{2} + 2x \right) \right|_{0}^{4}$.

Вычислим значение выражения, подставив сначала верхний предел ($b=4$), а затем вычтем значение, полученное при подстановке нижнего предела ($a=0$): $S = \left( \frac{4^2}{2} + 2 \cdot 4 \right) - \left( \frac{0^2}{2} + 2 \cdot 0 \right) = \left( \frac{16}{2} + 8 \right) - (0 + 0) = (8 + 8) - 0 = 16$.

Площадь криволинейной трапеции равна 16.

Ответ: 16.

2)

Для функции $f(x) = 4 - x^2$ и отрезка $[-1; 2]$ площадь криволинейной трапеции также вычисляется через определенный интеграл. Здесь $a = -1$ и $b = 2$.

На отрезке $[-1; 2]$ функция $f(x) = 4 - x^2$ неотрицательна (её корни $x=\pm 2$, а ветви параболы направлены вниз), поэтому площадь можно найти по стандартной формуле.

Найдем первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = 4 - x^2$: $F(x) = \int (4 - x^2) dx = 4x - \frac{x^3}{3}$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница: $S = \int_{-1}^{2} (4 - x^2) dx = \left. \left( 4x - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{-1}^{2}$.

Вычислим значение выражения, подставив пределы интегрирования: $S = \left( 4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 4 \cdot (-1) - \frac{(-1)^3}{3} \right)$.

$S = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -4 - \frac{-1}{3} \right) = \left( \frac{24}{3} - \frac{8}{3} \right) - \left( -4 + \frac{1}{3} \right) = \frac{16}{3} - \left( -\frac{12}{3} + \frac{1}{3} \right) = \frac{16}{3} - \left( -\frac{11}{3} \right) = \frac{16}{3} + \frac{11}{3} = \frac{27}{3} = 9$.

Площадь криволинейной трапеции равна 9.

Ответ: 9.