Номер 1.87, страница 48, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.87. Вычислите:

1) $\int_{1}^{2} \frac{4x^5 - 3x^4 + x^3 - 1}{x^2} dx;$

2) $\int_{-2}^{-1} \frac{5x^7 - 4x^6 + 2x}{x^3} dx;$

3) $\int_{2}^{3} \frac{6x^4 - 4x^3 + 7x^2 - 1}{x^2} dx;$

4) $\int_{-2}^{-1} \frac{3x^6 - 4x^5 - 7x^4 + 3x^2}{x^4} dx.$

1) Для вычисления интеграла $ \int_{1}^{2} \frac{4x^5 - 3x^4 + x^3 - 1}{x^2} dx $ сначала упростим подынтегральное выражение, разделив почленно числитель на знаменатель: $ \frac{4x^5 - 3x^4 + x^3 - 1}{x^2} = 4x^3 - 3x^2 + x - x^{-2} $. Далее найдем первообразную: $ F(x) = \int (4x^3 - 3x^2 + x - x^{-2}) dx = 4\frac{x^4}{4} - 3\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - \frac{x^{-1}}{-1} = x^4 - x^3 + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{x} $. По формуле Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, получаем: $ (x^4 - x^3 + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{x}) \Big|_{1}^{2} = (2^4 - 2^3 + \frac{2^2}{2} + \frac{1}{2}) - (1^4 - 1^3 + \frac{1^2}{2} + \frac{1}{1}) = (16 - 8 + 2 + \frac{1}{2}) - (1 - 1 + \frac{1}{2} + 1) = (10 + \frac{1}{2}) - (1 + \frac{1}{2}) = 10.5 - 1.5 = 9 $.

Ответ: 9.

2) Для вычисления интеграла $ \int_{-2}^{-1} \frac{5x^7 - 4x^6 + 2x}{x^8} dx $ упростим подынтегральное выражение: $ \frac{5x^7 - 4x^6 + 2x}{x^8} = \frac{5x^7}{x^8} - \frac{4x^6}{x^8} + \frac{2x}{x^8} = \frac{5}{x} - \frac{4}{x^2} + \frac{2}{x^7} = 5x^{-1} - 4x^{-2} + 2x^{-7} $. Найдем первообразную: $ F(x) = \int (5x^{-1} - 4x^{-2} + 2x^{-7}) dx = 5\ln|x| - 4\frac{x^{-1}}{-1} + 2\frac{x^{-6}}{-6} = 5\ln|x| + \frac{4}{x} - \frac{1}{3x^6} $. По формуле Ньютона-Лейбница: $ (5\ln|x| + \frac{4}{x} - \frac{1}{3x^6}) \Big|_{-2}^{-1} = (5\ln|-1| + \frac{4}{-1} - \frac{1}{3(-1)^6}) - (5\ln|-2| + \frac{4}{-2} - \frac{1}{3(-2)^6}) = (5\ln(1) - 4 - \frac{1}{3}) - (5\ln(2) - 2 - \frac{1}{192}) = (0 - 4 - \frac{1}{3}) - 5\ln(2) + 2 + \frac{1}{192} = -\frac{13}{3} - 5\ln(2) + 2 + \frac{1}{192} = -5\ln(2) - \frac{7}{3} + \frac{1}{192} = -5\ln(2) - \frac{448}{192} + \frac{1}{192} = -5\ln(2) - \frac{447}{192} $. Сокращая дробь на 3, получаем $ -5\ln(2) - \frac{149}{64} $.

Ответ: $ -5\ln(2) - \frac{149}{64} $.

3) Для вычисления интеграла $ \int_{2}^{3} \frac{6x^4 - 4x^3 + 7x^2 - 1}{x^2} dx $ упростим подынтегральное выражение: $ \frac{6x^4 - 4x^3 + 7x^2 - 1}{x^2} = 6x^2 - 4x + 7 - x^{-2} $. Найдем первообразную: $ F(x) = \int (6x^2 - 4x + 7 - x^{-2}) dx = 6\frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} + 7x - \frac{x^{-1}}{-1} = 2x^3 - 2x^2 + 7x + \frac{1}{x} $. По формуле Ньютона-Лейбница: $ (2x^3 - 2x^2 + 7x + \frac{1}{x}) \Big|_{2}^{3} = (2 \cdot 3^3 - 2 \cdot 3^2 + 7 \cdot 3 + \frac{1}{3}) - (2 \cdot 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2 + \frac{1}{2}) = (54 - 18 + 21 + \frac{1}{3}) - (16 - 8 + 14 + \frac{1}{2}) = (57 + \frac{1}{3}) - (22 + \frac{1}{2}) = \frac{172}{3} - \frac{45}{2} = \frac{344 - 135}{6} = \frac{209}{6} $.

Ответ: $ \frac{209}{6} $.

4) Для вычисления интеграла $ \int_{-2}^{-1} \frac{3x^6 - 4x^5 - 7x^4 + 3x^2}{x^4} dx $ упростим подынтегральное выражение: $ \frac{3x^6 - 4x^5 - 7x^4 + 3x^2}{x^4} = 3x^2 - 4x - 7 + 3x^{-2} $. Найдем первообразную: $ F(x) = \int (3x^2 - 4x - 7 + 3x^{-2}) dx = x^3 - 2x^2 - 7x - \frac{3}{x} $. По формуле Ньютона-Лейбница: $ (x^3 - 2x^2 - 7x - \frac{3}{x}) \Big|_{-2}^{-1} = ((-1)^3 - 2(-1)^2 - 7(-1) - \frac{3}{-1}) - ((-2)^3 - 2(-2)^2 - 7(-2) - \frac{3}{-2}) = (-1 - 2 + 7 + 3) - (-8 - 8 + 14 + \frac{3}{2}) = 7 - (-2 + \frac{3}{2}) = 7 - (-\frac{1}{2}) = 7 + \frac{1}{2} = \frac{15}{2} $.

Ответ: $ \frac{15}{2} $.