Номер 1.89, страница 49, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.89. Вычислите интеграл, предварительно упростив подынтегральное выражение:

1) $\int_{-1}^{0} \frac{(x^2 - 2x)(3 - 2x)}{x - 2} dx;$

2) $\int_{2}^{8} \frac{(x^2 - 3x + 2)(2 + x)}{x - 1} dx;$

3) $\int_{2}^{8} \frac{(x^2 - 4)(x^2 - 1)}{x^2 + x - 2} dx;$

4) $\int_{-1}^{1} \frac{(9 - x^2)(x^2 - 16)}{x^2 - 7x + 12} dx.$

1) Упростим подынтегральное выражение. В числителе вынесем $\text{x}$ за скобки в первом множителе: $x^2 - 2x = x(x-2)$.

$\frac{(x^2 - 2x)(3 - 2x)}{x - 2} = \frac{x(x - 2)(3 - 2x)}{x - 2}$

На промежутке интегрирования $[-1, 0]$ знаменатель $x-2 \neq 0$, поэтому можно сократить дробь на $(x-2)$.

Получаем: $x(3 - 2x) = 3x - 2x^2$.

Теперь вычислим интеграл:

$\int_{-1}^{0} (3x - 2x^2) dx = \left(\frac{3x^2}{2} - \frac{2x^3}{3}\right) \Big|_{-1}^{0} = \left(\frac{3 \cdot 0^2}{2} - \frac{2 \cdot 0^3}{3}\right) - \left(\frac{3(-1)^2}{2} - \frac{2(-1)^3}{3}\right) = 0 - \left(\frac{3}{2} - \frac{-2}{3}\right) = -\left(\frac{3}{2} + \frac{2}{3}\right) = -\left(\frac{9+4}{6}\right) = -\frac{13}{6}$.

Ответ: $-\frac{13}{6}$.

2) Упростим подынтегральное выражение. Разложим квадратный трехчлен $x^2 - 3x + 2$ на множители. Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ равны $x_1=1$ и $x_2=2$. Следовательно, $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.

$\frac{(x^2 - 3x + 2)(2 + x)}{x - 1} = \frac{(x-1)(x-2)(x+2)}{x-1}$

На промежутке интегрирования $[2, 8]$ знаменатель $x-1 \neq 0$, поэтому можно сократить дробь на $(x-1)$.

Получаем: $(x-2)(x+2) = x^2 - 4$.

Теперь вычислим интеграл:

$\int_{2}^{8} (x^2 - 4) dx = \left(\frac{x^3}{3} - 4x\right) \Big|_{2}^{8} = \left(\frac{8^3}{3} - 4 \cdot 8\right) - \left(\frac{2^3}{3} - 4 \cdot 2\right) = \left(\frac{512}{3} - 32\right) - \left(\frac{8}{3} - 8\right) = \frac{512-96}{3} - \frac{8-24}{3} = \frac{416}{3} - \left(-\frac{16}{3}\right) = \frac{416+16}{3} = \frac{432}{3} = 144$.

Ответ: $144$.

3) Упростим подынтегральное выражение. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $(x^2 - 4)(x^2 - 1) = (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)$.

Знаменатель: $x^2 + x - 2$. Корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$ равны $x_1=1$ и $x_2=-2$. Следовательно, $x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2)$.

$\frac{(x^2 - 4)(x^2 - 1)}{x^2 + x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+2)}$

На промежутке интегрирования $[2, 8]$ знаменатель не равен нулю, поэтому можно сократить дробь на $(x-1)(x+2)$.

Получаем: $(x-2)(x+1) = x^2 + x - 2x - 2 = x^2 - x - 2$.

Теперь вычислим интеграл:

$\int_{2}^{8} (x^2 - x - 2) dx = \left(\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x\right) \Big|_{2}^{8} = \left(\frac{8^3}{3} - \frac{8^2}{2} - 2 \cdot 8\right) - \left(\frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} - 2 \cdot 2\right) = \left(\frac{512}{3} - 32 - 16\right) - \left(\frac{8}{3} - 2 - 4\right) = \left(\frac{512}{3} - 48\right) - \left(\frac{8}{3} - 6\right) = \frac{368}{3} - \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{378}{3} = 126$.

Ответ: $126$.

4) Упростим подынтегральное выражение. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $(9 - x^2)(x^2 - 16) = (3-x)(3+x)(x-4)(x+4)$.

Знаменатель: $x^2 - 7x + 12$. Корни уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$ равны $x_1=3$ и $x_2=4$. Следовательно, $x^2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4)$.

$\frac{(9 - x^2)(x^2 - 16)}{x^2 - 7x + 12} = \frac{(3-x)(3+x)(x-4)(x+4)}{(x-3)(x-4)} = \frac{-(x-3)(x+3)(x-4)(x+4)}{(x-3)(x-4)}$

На промежутке интегрирования $[-1, 1]$ знаменатель не равен нулю, поэтому можно сократить дробь на $(x-3)(x-4)$.

Получаем: $-(x+3)(x+4) = -(x^2 + 7x + 12) = -x^2 - 7x - 12$.

Теперь вычислим интеграл:

$\int_{-1}^{1} (-x^2 - 7x - 12) dx = \left(-\frac{x^3}{3} - \frac{7x^2}{2} - 12x\right) \Big|_{-1}^{1} = \left(-\frac{1^3}{3} - \frac{7 \cdot 1^2}{2} - 12 \cdot 1\right) - \left(-\frac{(-1)^3}{3} - \frac{7(-1)^2}{2} - 12(-1)\right) = \left(-\frac{1}{3} - \frac{7}{2} - 12\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{7}{2} + 12\right) = -\frac{1}{3} - \frac{7}{2} - 12 - \frac{1}{3} + \frac{7}{2} - 12 = -\frac{2}{3} - 24 = -\frac{74}{3}$.

Ответ: $-\frac{74}{3}$.