Номер 1.96, страница 50, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.96. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной кубической параболой и прямыми:

1) $ \begin{cases} y = x^3 - x, \\ y = 0, \\ x = -1, \\ x = 1; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} y = \frac{1}{3}x^3, \\ y = 0, \\ x = -3, \\ x = 3; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} y = 4x^3, \\ y = 0, \\ x = 1, \\ x = 2. \end{cases} $

1) Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле определенного интеграла: $S = \int_a^b |f(x)| \,dx$.

В данном случае $f(x) = x^3 - x$, $a = -1$, $b = 1$. Таким образом, искомая площадь равна $S = \int_{-1}^1 |x^3 - x| \,dx$.

Для вычисления интеграла необходимо определить знаки функции $f(x) = x^3 - x = x(x-1)(x+1)$ на промежутке $[-1, 1]$.

На промежутке $[-1, 0]$ функция $f(x) \geq 0$ (например, при $x = -0.5$, $y = (-0.5)^3 - (-0.5) = -0.125 + 0.5 = 0.375 > 0$).

На промежутке $[0, 1]$ функция $f(x) \leq 0$ (например, при $x = 0.5$, $y = (0.5)^3 - 0.5 = 0.125 - 0.5 = -0.375 < 0$).

Поэтому интеграл необходимо разбить на два: $S = \int_{-1}^0 (x^3 - x) \,dx + \int_0^1 -(x^3 - x) \,dx = \int_{-1}^0 (x^3 - x) \,dx + \int_0^1 (x - x^3) \,dx$.

Вычислим каждый интеграл по отдельности: $\int_{-1}^0 (x^3 - x) \,dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^0 = \left(\frac{0^4}{4} - \frac{0^2}{2}\right) - \left(\frac{(-1)^4}{4} - \frac{(-1)^2}{2}\right) = 0 - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) = -(-\frac{1}{4}) = \frac{1}{4}$.

$\int_0^1 (x - x^3) \,dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \left(\frac{1^2}{2} - \frac{1^4}{4}\right) - \left(\frac{0^2}{2} - \frac{0^4}{4}\right) = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) - 0 = \frac{1}{4}$.

Общая площадь: $S = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

2) Площадь криволинейной трапеции находится по формуле $S = \int_a^b |f(x)| \,dx$.

В данном случае $f(x) = \frac{1}{3}x^3$, $a = -3$, $b = 3$. Искомая площадь равна $S = \int_{-3}^3 |\frac{1}{3}x^3| \,dx$.

Определим знак функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3$ на промежутке $[-3, 3]$.

На промежутке $[-3, 0]$ функция $f(x) \leq 0$.

На промежутке $[0, 3]$ функция $f(x) \geq 0$.

Следовательно, интеграл разбивается на два: $S = \int_{-3}^0 (-\frac{1}{3}x^3) \,dx + \int_0^3 (\frac{1}{3}x^3) \,dx$.

Функция $y=|\frac{1}{3}x^3|$ является четной, а промежуток интегрирования симметричен относительно нуля, поэтому можно упростить вычисление: $S = 2 \int_0^3 \frac{1}{3}x^3 \,dx = \frac{2}{3} \int_0^3 x^3 \,dx$.

Вычислим интеграл: $S = \frac{2}{3} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^3 = \frac{2}{3} \left( \frac{3^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{81}{4} = \frac{162}{12} = \frac{27}{2}$.

Ответ: $\frac{27}{2}$

3) Площадь криволинейной трапеции находится по формуле $S = \int_a^b |f(x)| \,dx$.

В данном случае $f(x) = 4x^3$, $a = 1$, $b = 2$. Искомая площадь равна $S = \int_1^2 |4x^3| \,dx$.

На промежутке $[1, 2]$ функция $f(x) = 4x^3$ является положительной, так как $x > 0$.

Поэтому $|4x^3| = 4x^3$, и площадь вычисляется как $S = \int_1^2 4x^3 \,dx$.

Вычислим интеграл: $S = 4 \int_1^2 x^3 \,dx = 4 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_1^2 = [x^4]_1^2 = 2^4 - 1^4 = 16 - 1 = 15$.

Ответ: 15