Номер 1.90, страница 49, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.90. Вычислите интеграл:

1) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{8}} \sin 2x dx$;

2) $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{0} 4\cos 3x dx$.

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{8}} \sin(2x) dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для $f(x)$. Первообразная для функции $f(x) = \sin(2x)$ находится как $\int \sin(2x) dx = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C$. Подставим пределы интегрирования в первообразную: $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{8}} \sin(2x) dx = \left. -\frac{1}{2}\cos(2x) \right|_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{8}} = (-\frac{1}{2}\cos(2 \cdot \frac{\pi}{8})) - (-\frac{1}{2}\cos(2 \cdot (-\frac{\pi}{4})))$ $= -\frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{4}) + \frac{1}{2}\cos(-\frac{\pi}{2})$. Зная, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем: $-\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 0 = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{4}$.

2) Вычислим интеграл $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{0} 4\cos(3x) dx$. Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 4\cos(3x)$: $F(x) = \int 4\cos(3x) dx = 4 \int \cos(3x) dx = 4 \cdot \frac{1}{3}\sin(3x) = \frac{4}{3}\sin(3x)$. Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница: $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{0} 4\cos(3x) dx = \left. \frac{4}{3}\sin(3x) \right|_{-\frac{\pi}{4}}^{0} = (\frac{4}{3}\sin(3 \cdot 0)) - (\frac{4}{3}\sin(3 \cdot (-\frac{\pi}{4})))$ $= \frac{4}{3}\sin(0) - \frac{4}{3}\sin(-\frac{3\pi}{4})$. Используя свойства и значения тригонометрических функций: $\sin(0) = 0$ и $\sin(-\frac{3\pi}{4}) = -\sin(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим эти значения в выражение: $\frac{4}{3} \cdot 0 - \frac{4}{3} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 0 + \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.