Номер 1.91, страница 49, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.91. Вычислите интеграл:

1) $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x) dx$;

2) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 2\sin\left(\frac{x}{3}\right) dx$;

3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{5}{\sin^2\left(x + \frac{\pi}{3}\right)} dx$;

4) $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{7}{\cos^2(3x)} dx$.

1)

Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная для $ f(x) $.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = \cos(2x) $. Это табличный интеграл вида $ \int \cos(kx)dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C $.

В нашем случае $ k=2 $, поэтому первообразная $ F(x) = \frac{1}{2}\sin(2x) $.

Теперь вычислим значение интеграла:

$ \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x)dx = \frac{1}{2}\sin(2x) \Big|_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2}\sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{4})) $

$ = \frac{1}{2}\sin(\pi) - \frac{1}{2}\sin(-\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot (-1) = 0 - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $

2)

Вынесем константу 2 за знак интеграла. Подынтегральная функция имеет вид $ \sin(\frac{x}{3}) $. Первообразная для $ \sin(kx) $ равна $ -\frac{1}{k}\cos(kx) $.

В данном случае $ k = \frac{1}{3} $. Найдем первообразную:

$ \int 2\sin(\frac{x}{3})dx = 2 \int \sin(\frac{x}{3})dx = 2 \cdot (-\frac{1}{1/3}\cos(\frac{x}{3})) = -6\cos(\frac{x}{3}) $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} 2\sin(\frac{x}{3})dx = -6\cos(\frac{x}{3}) \Big|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -6\cos(\frac{\pi}{3}) - (-6\cos(\frac{\pi/2}{3})) $

$ = -6\cos(\frac{\pi}{3}) + 6\cos(\frac{\pi}{6}) = -6 \cdot \frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -3 + 3\sqrt{3} = 3(\sqrt{3} - 1) $.

Ответ: $ 3(\sqrt{3}-1) $

3)

Постоянный множитель 5 можно вынести за знак интеграла. Интеграл является табличным: $ \int \frac{dx}{\sin^2(ax+b)} = -\frac{1}{a}\cot(ax+b) + C $.

В нашем случае $ a=1 $ и $ b=\frac{\pi}{3} $. Первообразная равна $ -5\cot(x+\frac{\pi}{3}) $.

Вычислим определенный интеграл:

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{5}{\sin^2(x + \frac{\pi}{3})}dx = -5\cot(x + \frac{\pi}{3}) \Big|_{0}^{\frac{\pi}{3}} $

$ = -5\cot(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}) - (-5\cot(0 + \frac{\pi}{3})) = -5\cot(\frac{2\pi}{3}) + 5\cot(\frac{\pi}{3}) $

Зная, что $ \cot(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} $ и $ \cot(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} $, получаем:

$ -5(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + 5(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{5}{\sqrt{3}} + \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} $.

Ответ: $ \frac{10\sqrt{3}}{3} $

4)

Вынесем константу 7 за знак интеграла. Используем табличный интеграл $ \int \frac{dx}{\cos^2(kx)} = \frac{1}{k}\tan(kx) + C $.

Здесь $ k=3 $. Тогда первообразная для подынтегральной функции равна $ \frac{7}{3}\tan(3x) $.

Вычислим значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{7}{\cos^2(3x)}dx = \frac{7}{3}\tan(3x) \Big|_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} $

$ = \frac{7}{3}\tan(3 \cdot \frac{\pi}{3}) - \frac{7}{3}\tan(3 \cdot (-\frac{\pi}{4})) = \frac{7}{3}\tan(\pi) - \frac{7}{3}\tan(-\frac{3\pi}{4}) $

Так как $ \tan(\pi) = 0 $ и $ \tan(-\frac{3\pi}{4}) = \tan(\pi - \frac{3\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1 $, то:

$ \frac{7}{3} \cdot 0 - \frac{7}{3} \cdot 1 = 0 - \frac{7}{3} = -\frac{7}{3} $.

Ответ: $ -\frac{7}{3} $