Номер 1.92, страница 49, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.92. Вычислите интеграл, преобразовав подынтегральную функцию:

1) $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \frac{x}{2} dx;$

2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x \cos 3x dx;$

3) $\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 3x dx;$

4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos 7x \cos 5x dx.$

1) Для вычисления интеграла $ \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\frac{x}{2}dx $ преобразуем подынтегральную функцию, используя формулу понижения степени $ \cos^2\alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2} $.

В нашем случае $ \alpha = \frac{x}{2} $, поэтому $ \cos^2\frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{2} $.

Теперь интеграл принимает вид:

$ \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos x}{2}dx = \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos x)dx $

Найдем первообразную для подынтегральной функции $ (1+\cos x) $. Первообразная равна $ x+\sin x $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \frac{1}{2} [x+\sin x]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left( \left(\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2}\right) - \left(-\frac{\pi}{4} + \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) \right) $

$ = \frac{1}{2} \left( \left(\frac{\pi}{2} + 1\right) - \left(-\frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 1 + \frac{\pi}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) $

$ = \frac{1}{2} \left( \frac{3\pi}{4} + 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{3\pi}{8} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} $.

Ответ: $ \frac{3\pi}{8} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} $

2) Для вычисления интеграла $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin2x\cos3xdx $ преобразуем подынтегральную функцию, используя формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму $ \sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)) $.

В нашем случае $ \alpha = 2x $ и $ \beta = 3x $, поэтому $ \sin2x\cos3x = \frac{1}{2}(\sin(2x+3x) + \sin(2x-3x)) = \frac{1}{2}(\sin5x + \sin(-x)) = \frac{1}{2}(\sin5x - \sin x) $.

Интеграл принимает вид:

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}(\sin5x - \sin x)dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin5x - \sin x)dx $

Первообразная для $ (\sin5x - \sin x) $ равна $ -\frac{1}{5}\cos5x - (-\cos x) = \cos x - \frac{1}{5}\cos5x $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \frac{1}{2} \left[ \cos x - \frac{1}{5}\cos5x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left( \left(\cos\frac{\pi}{2} - \frac{1}{5}\cos\frac{5\pi}{2}\right) - \left(\cos0 - \frac{1}{5}\cos0\right) \right) $

$ = \frac{1}{2} \left( (0 - \frac{1}{5} \cdot 0) - (1 - \frac{1}{5} \cdot 1) \right) = \frac{1}{2} \left( 0 - \frac{4}{5} \right) = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5} $.

Ответ: $ -\frac{2}{5} $

3) Для вычисления интеграла $ \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 3xdx $ преобразуем подынтегральную функцию, используя формулу понижения степени $ \sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2} $.

В нашем случае $ \alpha = 3x $, поэтому $ \sin^2 3x = \frac{1-\cos(6x)}{2} $.

Интеграл принимает вид:

$ \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1-\cos(6x)}{2}dx = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} (1-\cos(6x))dx $

Первообразная для $ (1-\cos(6x)) $ равна $ x - \frac{1}{6}\sin(6x) $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \frac{1}{2} \left[ x - \frac{1}{6}\sin(6x) \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{2} \left( (\pi - \frac{1}{6}\sin(6\pi)) - (-\pi - \frac{1}{6}\sin(-6\pi)) \right) $

$ = \frac{1}{2} \left( (\pi - 0) - (-\pi - 0) \right) = \frac{1}{2}(\pi+\pi) = \frac{1}{2}(2\pi) = \pi $.

Ответ: $ \pi $

4) Для вычисления интеграла $ \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos7x\cos5xdx $ преобразуем подынтегральную функцию, используя формулу преобразования произведения косинусов в сумму $ \cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)) $.

В нашем случае $ \alpha = 7x $ и $ \beta = 5x $, поэтому $ \cos7x\cos5x = \frac{1}{2}(\cos(7x-5x) + \cos(7x+5x)) = \frac{1}{2}(\cos2x + \cos12x) $.

Интеграл принимает вид:

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{2}(\cos2x + \cos12x)dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\cos2x + \cos12x)dx $

Первообразная для $ (\cos2x + \cos12x) $ равна $ \frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{12}\sin12x $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{12}\sin12x \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2} \left( \left(\frac{1}{2}\sin(2\frac{\pi}{3}) + \frac{1}{12}\sin(12\frac{\pi}{3})\right) - \left(\frac{1}{2}\sin0 + \frac{1}{12}\sin0\right) \right) $

$ = \frac{1}{2} \left( \left(\frac{1}{2}\sin\frac{2\pi}{3} + \frac{1}{12}\sin(4\pi)\right) - (0+0) \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{12} \cdot 0 \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{8} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{8} $