Номер 1.98, страница 51, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.98. Изобразите криволинейную трапецию, ограниченную указанными параболой и прямыми, и вычислите ее площадь:

1) $y = 2x^2 + 1,$

$y = 0,$

$x = -1,$

$x = 1;$

2) $y = \frac{1}{3}x^2 + 1,$

$y = 0,$

$x = 1,$

$x = 5;$

3) $y = x^2 - x,$

$y = 0,$

$x = 0,$

$x = 2;$

4) $y = 2x^2 - 3x + 2,$

$y = 0,$

$x = 0,$

$x = 2.$

1)

Фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху параболой $y = 2x^2 + 1$, снизу осью абсцисс ($y=0$), и по бокам прямыми $x = -1$ и $x = 1$. Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция $y = 2x^2 + 1$ положительна на всем отрезке $[-1, 1]$. Площадь криволинейной трапеции вычисляется с помощью определенного интеграла.

$S = \int_{-1}^{1} (2x^2 + 1) \,dx$

Найдем первообразную для функции $f(x) = 2x^2 + 1$. Это $F(x) = \frac{2x^3}{3} + x$. По формуле Ньютона-Лейбница:

$S = F(1) - F(-1) = \left(\frac{2 \cdot 1^3}{3} + 1\right) - \left(\frac{2 \cdot (-1)^3}{3} + (-1)\right) = \left(\frac{2}{3} + 1\right) - \left(-\frac{2}{3} - 1\right) = \frac{5}{3} - \left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{5}{3} + \frac{5}{3} = \frac{10}{3}$

Площадь равна $\frac{10}{3}$ квадратных единиц.

Ответ: $\frac{10}{3}$

2)

Фигура является криволинейной трапецией, ограниченной параболой $y = \frac{1}{3}x^2 + 1$, осью $Ox$ ($y=0$) и прямыми $x = 1$ и $x = 5$. Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$, ветви направлены вверх, поэтому на отрезке $[1, 5]$ функция $y = \frac{1}{3}x^2 + 1$ положительна. Площадь вычисляется как определенный интеграл от функции $y(x)$ в пределах от $x=1$ до $x=5$.

$S = \int_{1}^{5} \left(\frac{1}{3}x^2 + 1\right) \,dx$

Первообразная для $f(x) = \frac{1}{3}x^2 + 1$ есть $F(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + x = \frac{x^3}{9} + x$. Вычислим площадь по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = F(5) - F(1) = \left(\frac{5^3}{9} + 5\right) - \left(\frac{1^3}{9} + 1\right) = \left(\frac{125}{9} + \frac{45}{9}\right) - \left(\frac{1}{9} + \frac{9}{9}\right) = \frac{170}{9} - \frac{10}{9} = \frac{160}{9}$

Площадь равна $\frac{160}{9}$ квадратных единиц.

Ответ: $\frac{160}{9}$

3)

Фигура ограничена параболой $y = x^2 - x$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x=0$, $x=2$. Парабола $y = x^2 - x$ пересекает ось $Ox$ в точках $x(x-1)=0$, то есть при $x=0$ и $x=1$. Вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$. На отрезке $[0, 1]$ график функции находится ниже оси $Ox$ ($y \le 0$), а на отрезке $[1, 2]$ — выше оси $Ox$ ($y \ge 0$). Поэтому для вычисления площади необходимо разбить интеграл на две части и взять модуль от значения на первом отрезке.

$S = \int_0^2 |x^2-x| \,dx = \int_0^1 -(x^2-x) \,dx + \int_1^2 (x^2-x) \,dx = \int_0^1 (x-x^2) \,dx + \int_1^2 (x^2-x) \,dx$

Вычислим каждый интеграл отдельно:

$\int_0^1 (x-x^2) \,dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) - 0 = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$

$\int_1^2 (x^2-x) \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_1^2 = \left(\frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2}\right) - \left(\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2}\right) = \left(\frac{8}{3} - 2\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Общая площадь равна сумме площадей двух частей:

$S = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Ответ: 1

4)

Криволинейная трапеция ограничена параболой $y = 2x^2 - 3x + 2$, осью $Ox$ ($y=0$) и прямыми $x=0$, $x=2$. Найдем вершину параболы: $x_v = -\frac{-3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$. Значение функции в вершине: $y_v = 2(\frac{3}{4})^2 - 3(\frac{3}{4}) + 2 = 2(\frac{9}{16}) - \frac{9}{4} + 2 = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} + \frac{16}{8} = \frac{7}{8}$. Поскольку вершина параболы находится выше оси абсцисс ($y_v > 0$) и ветви направлены вверх, функция $y = 2x^2 - 3x + 2$ положительна на всем отрезке $[0, 2]$.

Площадь вычисляется с помощью определенного интеграла:

$S = \int_0^2 (2x^2 - 3x + 2) \,dx$

Найдем первообразную: $F(x) = \frac{2x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x$. Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = F(2) - F(0) = \left(\frac{2 \cdot 2^3}{3} - \frac{3 \cdot 2^2}{2} + 2 \cdot 2\right) - 0 = \frac{16}{3} - \frac{12}{2} + 4 = \frac{16}{3} - 6 + 4 = \frac{16}{3} - 2 = \frac{16-6}{3} = \frac{10}{3}$

Площадь равна $\frac{10}{3}$ квадратных единиц.

Ответ: $\frac{10}{3}$